Les incontournables

Suites:

Comportement: sens de variations d'une suite:

On dit qu'une suite (u_n) définie dans ℕ est:

• croissante, si pour tout n, u_n ≤ u_n+1;

• strictement croissante, si pour tout n, u_n < u_n+1;

• décroissante, si pour tout n, u_n+1 ≤ u_n;

• strictement décroissante, si pour tout n, u_n+1 < u_n.

• une suite dont tous les termes sont égaux est dite constante ou stationnaire, pour tout n,

u_n = u_n+1.

Limite d'une suite: finie ou infinie

• On dit qu'une suite converge vers l quand ses termes se "rapprochent" de plus en plus de l lorsque n devient très grand:

• On On dit qu'une suite diverge lorsqu'elle n'est pas convergente.

Deux cas à envisager:

1) La suite n'a pas de limite:

Exemple: u_n = (-1)ⁿ, Cette suite prend les valeurs -1 ou 1 selon les valeurs de n; elle n'admet donc pas de limite, elle diverge;

2) lim_n→+∞u_n = +∞, c'est à dire que quelque soit le réel A, à partir d'un certain rang tous les termes de la suite dépassent A.

Exemple: u_n = -n³, lim_n→+∞u_n = -∞.

Limite de référence:

Opérations sur les limites:

• Somme: u_n + v_n: (a et b deux réels)

• Produit: u_n × v_n: (a et b deux réels)

• Propriétés: Limite d'une suite géométrique

Soit q un nombre strictement positif.

• si q > 1, alors lim_n→+∞qⁿ = +∞.

• si 0 < q < 1, alors lim_n→+∞qⁿ = 0.

• Corollaire:

Soit (u_n) une suite géométrique et q un nombre strictement positif.

• si q > 1, alors lim_n→+∞u_n = +∞.

• si 0 < q < 1, alors lim_n→+∞u_n = 0.

• si q = 1, alors la suite est constante et lim_n→+∞u_n = u₀ (u₀ étant le 1^er terme).

Exemples:

• 1) u_n = 5×(³/₄)ⁿ

• lim_n→+∞ 5×(³/₄)ⁿ = 0 car 0 < ³/₄ < 1

• 2) u_n = 8×(⁵/₄)ⁿ

• lim_n→+∞ 8×(⁵/₄)ⁿ = +∞ car ⁵/₄ > 1

Suite arithmético-géométrique:

Corollaire:

Une suite (u_n) est dite arithmético-géométrique si elle satisfait à la relation du type:

Exemple:

• Un journal quotidien est distribué par abonnement. On constate que chaque mois, 3% des abonnés arrêtent leur abonnement. Mais 300 nouveaux abonnés s'inscrivent.

• Si on note u_n le nombre d'abonnés le n^ième mois alors le mois suivant le nombre d'abonnés sera:

  u_n+1 = u_n - (³/₁₀₀)×u_n + 300 = 0,97u_n +300.

Probabilités conditionnelles:

Si P(A) ≠ 0, on appelle probabilité conditionnelle de B sachant A le nombre, P_A(B) défini par:

On modélise cette situation par un arbre: toujours faire un arbre même s'il n'est pas demandé.

La notation P_A(B) indique que A est l'événement de référence.

Calculatrice: (valeurs à noter dans les cases puis touche "résoudre")

Exemple:

Une maladie touche 20 % de la population d’une ville. Lors d’un dépistage de la maladie, on utilise un test biologique qui a les caractéristiques suivantes : • lorsque la personne est malade, la probabilité d’avoir un test positif est 0,85; • lorsque la personne n’est pas malade, la probabilité d’avoir un test négatif est 0,95. On choisit une personne au hasard dans cette population. On note T l’événement « la personne a un test positif à cette maladie » et M l’événement « la personne est atteinte de cette maladie ».

Probabilité que la personne soit malade et que le test soit positif: P(M∩T) = 0,2×0,85 = 0,17. Probabilité que le test soit positif: P(T) = P(M∩T) + P(M̄ ∩T) = 0,2×0,85 + 0,8×0,05 = 0,21.

Fonction exponentielle:

Définitions et propriétés:

Soit q un réel strictement positif

La fonction x → q^x s'appelle fonction exponentielle de base q.

Cette fonction est définie, dérivable et strictement positive sur ℝ.

Fonction exponentielle de base e:

Propriétés:

Exemples:

• (1/e^3x) = e^-3x

• (e^x)²/e = e^2x/e = e^2x×e^-1 = e^2x-1

Propriétés:

Fonction du type: x → e^u(x):

Théorème:

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction e^u: x →e^(u(x)) est dérivable sur I et:

Exemple:

Calculons la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par: f(x) = e^{(x2 - 2x)}.

u(x) = x² - 2x d'où u'(x) = 2x - 2.

f'(x) = (2x - 2)e^{(x2 - 2x)}.

Propriétés:

u et v sont deux fonctions

• e^u(x) = e^v(x) ⇔ u(x) = v(x)

• e^u(x) < e^v(x) ⇔ u(x) < v(x)

Exemples:

• e^2+x - e^-x+5 = 0

  ⇔ e^2+x = e^-x+5 ⇔ 2+x = -x+5 ⇔ 2x = 3

  ⇔ x = 3/2.

  L'équation admet comme unique solution 3/2.

• e^4+x - e^5-x ≥ 0 ⇔ e^4+x ≥ e^5-x

  ⇔ 4+x ≥ 5-x ⇔ 2x ≥ 1

  ⇔ x ≥1/2.

  L'ensemble des solutions est: [1/2; +∞[.

Fonction logarithme népérien:

Propriétés:

Exemples:

• A = ln(25) = ln(5²) = 2ln(5).

• B = ln(5/8) = ln(5) - ln(8) = ln(5) - ln(2³) = ln(5) - 3ln(2)

• C = ln(x²) - ln(x) - ln(√x) = 2ln(x) - ln(x) - (1/2)ln(x) = (1/2)ln(x).

  Propriétés:

  Valeurs remarquables: ln(1) = 0, ln(e) = 1. La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction qui à tout x strictement positif associe le nombre ln(x). La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ et pour tout réel x > 0, (ln(x))' = 1/X. La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0;+∞[. limx→0ln(x) = -∞ et limx→+∞ln(x)= +∞ La fonction logarithme népérien est concave sur ]0;+∞[. La courbe représentative de la fonction "ln" est en-dessous de chacune de ses tangentes
  Sens de variation:	Courbe représentative:
  Equations du type: ln(x) = ln(a) Pour tout réel x > 0 et a réel fixé: ln(x) = ln(a) ⇔ x = a. Exemple: (1/2)ln(x) = ln(2) ⇔ ln(x) = 2ln(2) = ln(4) ⇔ x = 4.	Inéquations du type: ln(x) > ln(a) (ou ln(x) < ln(a) ou ln(x) ≥ ln(a) ou ln(x) ≤ ln(a)) Pour tout réel x > 0 et a réel fixé: ln(x) > ln(a) ⇔ x > a. Exemple: 5 - 3ln(x) ≥ 0 ⇔ 5 ≥ 3ln(x) ⇔ 5/3 ≥ ln(x) ⇔ (5/3)ln(e) ≥ ln(x) ⇔ ln(e5/3) ≥ ln(x) ⇔ 5/3 ≥ x. Donc S = ]0;5/3]

  Fonction du type: x → ln(u(x)):

  Théorème:

  Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction ln(u(x)) est dérivable sur I et pour tout x ∈ I:

  (ln(u(x))' = u'/u

  Exemple:

  Calculons la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par: f(x) = ln[(2x + 6)/(x - 1)].

  u(x) = (2x + 6)/(x - 1) d'où u'(x) = -8/(x - 1)².

  f'(x) = [-8/(x - 1)²]/[(2x + 6)/(x - 1)] = [-8/(x - 1)²]×[(x-1)/(2x + 6)] = -8/[(x - 1)(2x + 6)].

  Propriétés:

  u et v sont deux fonctions

  • ln(u(x)) = ln(v(x)) ⇔ u(x) = v(x)
  • ln(u(x)) < ln(v(x)) ⇔ u(x) < v(x)

  Exemples:

  • ln(x - 2) + ln(2x) = ln(16)

    D_f = ]2;+∞[

    ln(x - 2) + ln(2x) = ln(16) ⇔ ln[2x(x - 2)] = ln(16)

    ⇔ 2x² - 4x = 16 ⇔ 2x² - 4x - 16 = 0 ⇔ x² - 2x - 8 = 0

    Δ = 36 > 0 d'où x₁ = -2 et x₂ = 4

    Or -2 ∉ D_f

    Donc la solution est: x = 4.

  • ln[x(x + 1)] ≤ ln(6)

    x(x+1) > 0 donc D_f = ]-∞; -1[ ∪ ]0;+∞[

    ⇔ ln(x² + x) ≤ ln(16)

    ⇔ x² + x ≤ 6

    ⇔ x² + x - 6 ≤ 0

    Δ = 25 > 0 d'où x₁ = -3 et x₂ = 2

    L'ensemble des solutions est: [-3; -1[ ∪ ]0;2].

Relation entre exponentielle et logarithme népérien:

Primitives et Intégrales:

1) Primitives:

Définition:

Soient 2 fonctions f et F définies sur un intervalle I.

On dit que F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et admet pour dérivée f:

pour tout x de I: F'(x) = f(x).

Exemple:

F(x) = xe^x - e^x - 5 est une primitive sur ℝ de f(x) = xe^x.

En effet en dérivant , on obtient : F'(x) = xe^x + e^x - e^x = xe^x = f(x) .

A retenir: si elles existent, les primitives de f sur I diffèrent d'une constante:

f continue sur I, F une primitive de f sur I, l'ensemble des primitives est de la forme: F + C avec C réel.

Toute fonction continue sur I admet des primitives sur I.

Propriété:

Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I, soit x₀ un point de I et y₀ un réel quelconque fixé.

Il existe alors une unique primitive F de f telle que:

Primitives des fonctions usuelles:

Primitives et fonctions composées:

u est une fonction dérivable sur un intervalle I.

Exemples:

• f(x) = 2x - 1/x² sur ]O;+∞[

  On note F cette primitive, F(x) = x² + 1/x + C, C réel.

• g(x) = x - 3 + 6/(x + 1)² sur ]-1;+∞[

  On note G cette primitive, G(x) = x²/2 - 3x - 6/(x + 1) + C, C réel.

  Donner l'expression de la primitive de g qui s'annule en 0 revient à calculer G(0) = 0 afin de trouver C:

  -6 + C = 0 donc C = 6.

  La primitive de g qui s'annule en 0 est définie par:

  G(x) = x²/2 - 3x - 6/(x + 1) + 6.

• h(x) = (2x+1)e^x2+x+3

  On reconnait la forme: u'e^u avec u'(x) = 2x + 1 et u(x) = x²+x+3.

  Une primitive de h est: H(x) =e^x2+x+3

Propriétés:

• F et G sont des primitives respectives des fonctions continues f et g sur un intervalle [a;b] alors F + G est une primitive de f + g sur [a;b]

• F est une primitive de la fonction continue f sur un intervalle [a;b] et k ∈ ℝ alors kF est une primitive de kf sur [a;b]

2) Intégration:

Notion d'aire:

f est une fonction continue et positive sur un intervalle I = [a;b] (avec a < b) et C_f la courbe représentative de f.

Le domaine, hachuré, est le domaine délimité par la courbe de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équation x = a et x = b.

L'aire algébrique de ce domaire se note: ∫_a^bf(x)dx.

A savoir: le résultat est exprimé en unités d'aire (noté: u.a):

Calcul d'une intégrale:

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a;b]:

Propriétés des intégrales:

f et g désignent deux fonctions continues sur un intervalle I.

Soient a, b et c des réels de I.

Soient α et β des réels.

• Relation de Chasles:

  ∫_a^cf(x)dx + ∫_c^bf(x)dx = ∫_a^bf(x)dx.

• Positivité de l'intégrale:

  1) Si f ≥ 0 sur [a;b], alors ∫_a^bf(x)dx ≥ 0.

  2) Si f ≤ 0 sur [a;b], alors ∫_a^bf(x)dx ≤ 0.

• Conservation de l'ordre:

  1) Si f(x) ≥ g(x), pour tout x de [a;b], alors ∫_a^bf(x)dx ≥ ∫_a^bg(x)dx.

  2) Si f(x) ≤ g(x), pour tout x de [a;b], alors ∫_a^bf(x)dx ≤ ∫_a^bg(x)dx.

• Linéarité:

  ∫_a^b[αf(x)dx + βg(x)] = α∫_a^bf(x)dx + β∫_a^bf(x)dx.

Conséquence:

∫_a^bf(x)dx + ∫_b^af(x)dx = ∫_a^af(x)dx = 0.

On obtient donc:

A retenir:

Pour calculer l'aire de la partie du plan comprise entre les courbes représentatives des fonctions f et g, on commence par étudier le signe de: f(x) - g(x). Si f(x) - g(x) ≥ 0 sur [a;b], alors: A = ∫ab[f(x) - g(x)]dx. Si f(x) - g(x) ≤ 0 sur [a;b], alors: A = ∫ab[g(x) - f(x)]dx.

Exemples:

• f(x) = 1/√x sur [1;3]

  La fonction x → 1/√x est continue et positive sur [1;3].

  On note F cette primitive, F(x) = 2√x.

  ∫₁³1/√xdx = [F(x)]₁³ = [2√x]₁³ = 2√3 - 3.

• Calcul de l'aire sous la courbe C_f d'équation f(x) = x⁵ + x⁴ pour x ∈ [0;1]

  La fonction x → x⁵ + x⁴ est continue et positive sur [0;1].

  On note F cette primitive, F(x) = (1/6)x⁶ + (1/5)x⁵.

  ∫₀¹(x⁵ + x⁴)dx = [F(x)]₀¹ = [(1/6)x⁶ + (1/5)x⁵]₀¹ = 11/30.

• On considère la fonction définie sur ℝ^* par: f(x) = x/(x³+√(x+1)).

  On pose I = ∫₁²f(x)dx.

  Montrons que I est positive:

  sur [0;+∞[ la fonction définie par f(x) = x/(x³+√(x+1)) est positive; son intégrale sur [1;2] est donc positive .

Valeur moyenne d'une intégrale:

Exemple:

Soit f définie sur ℝ par f(x) = (-1/2)x² + 3x.

La valeur moyenne μ de f sur [0;6] est:

une primitive F de f est: F(x) = (-1/6)x³ + (3/2)x².

μ = 1/(6 - 0)∫₀⁶f(x)dx = [F(x)]₀⁶ = (1/6)×18 = 3.