Second degré:
Qu'est ce qu'un polynôme du second degré?
Réponse:
Soient a,b et c trois réels tels que a≠0:
C'est une fonction de la forme: f(x)=ax²+bx+c.
Qu'est ce que la forme canonique?
Réponse:
Soit un polynôme du second degré: f(x)=ax²+bx+c
La forme: f(x)=a(x-α)²+β, où α=(-b)/(2a) et β=f(α) est appelée forme canonique
Dans les calculs, vous serez amené à utiliser l'une des trois formes:
1) La forme développée: f(x)=ax²+bx+c;
par exemple: pour calculer f(0).
2) La forme canonique: f(x)=a(x-α)²+β;
par exemple: pour calculer f(α).
3) La forme factorisée: f(x)=a(x-x1)(x-x2);
par exemple: pour calculer f(x)=0 (un produit de facteur est nul si l'un de ses facteurs est nul).
Comment déterminer la forme factorisée d'un polynôme du second degré?
Réponse:
Soit un polynôme du second degré: f(x)=ax²+bx+c
Trouver le discriminant: Δ=b²-4ac
1) Si Δ<0 , il n'y a pas de solution donc pas de factorisation.
2) Si Δ=0 il y a une solution x0=(-b)/(2a) et sa factorisation est: f(x)=a(x- x0)².
3) Si Δ>0, il y a deux solutions x1=(-b-√Δ)/(2a)
et x2=(-b-√Δ)/(2a)
La forme factorisée est: f(x)=a(x-x1)(x-x2).
Quel est le signe d'un polynôme du second degré?
Réponse:
P(x)=ax²+bx+c.C'est le signe de a SAUF entre les racines
1) Si Δ<0 :
| x | ∣ −∞ | +∞ | ||||
| ax²+bx+c | ∣ | signe de a |
2) Si Δ=0 :
| x | ∣ −∞ | x0 | +∞ | |||
| ax²+bx+c | ∣ | signe de a | 0 | signe de a |
3) Si Δ>0 :
| x | ∣ −∞ | x1 | x2 | +∞ | |||
| ax²+bx+c | ∣ | signe de a | 0 | -signe de a | 0 | signe de a |
Un polynôme du second degré est le produit de deux fonctions du 1er degré?
Réponse:
Vrai
(ax+b)(cx+d)=acx²+adx+bcx+bd=acx²+(ad+bc)x+bd
=Ax²+Bx+C=f(x), avec A=ac; B=ad+bc et C=bd
Si α est une racine d'un polynôme du second degré P défini par: P(x)=ax²+bx+c, que peut-on en déduire?
Réponse:
Si α est racine de P alors P(α)=0
On peut donc factoriser P par (x-α)
On obtient: P(x)=(x-α)(ax+b)
On développe et on identifie afin de trouver a et b.
Réponse:
Leur somme vaut:
Leur produit:
A retenir: Chercher deux nombres dont on connaît la somme s et le produit p revient à chercher les racines du polynômes:
Réponse:
On pose: X=x² et on obtient:
On calcule les racines X1 et X2, si elles existent (avec le discriminant)
Puis on résoud X1=x²1 et X2=x²2
Attention: on peut obtenir entre 0 et 4 solutions!
Attention: Si X<0, alors x²<0: pas de solution (un carré est toujours positif.
Dérivation: Partie 1
Donner l'équation réduite d'une droite?
Réponse:
L'équation réduite d'une droite (non verticale) est de la forme:
y=mx+p, où m est le coefficient directeur et p l'ordonnée à l'origine.
Soient A(xA;yA) et B(xB;yB) deux points de la courbe représentative de la fonction f.
Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB)
Réponse:
Le coefficient directeur de la droite (AB) est:
Soient A(a;f(a)) et B(a+h;f(a+h)) deux points de la courbe représentative de la fonction f.
Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB)
Réponse:
Le coefficient directeur de la droite (AB) est:
On appelle ce nombre, (f(a+h)-f(a))/h, taux de variation de f en a ou taux d'accroissement entre A et B ou coefficient directeur de la droite (AB)
Soient A(a;f(a)) et B(a+h;f(a+h)) deux points de la courbe représentative de la fonction f.
Les points A et B sont très très proches.
Déterminer le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse x=a
Réponse:
Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse x=a est:
On appelle ce nombre,f'(a), coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse x=a.
Donner l'équation réduite d'une tangente au point d'abscisse x=a.
Réponse:
L'équation réduite d'une tangenteau point d'abscisse a est:
où f'(a) est le coefficient directeur et (f(a)-a.f'(a)) est l'ordonnée à l'origine.
Qu'est ce qu'une fonction f dérivable en x=a?
Réponse:
Une fonction f est dérivable en x=a, a réel:
On appelle L le nombre dérivé.
On dit que f est dérivable en a et f'(a)=L, L réel.
Dérivation: Partie 2
Qu'est ce qu'une fonction dérivée?
Réponse:
Soit f une fonction.
On appelle fonction dérivée de f, la fonction notée f' qui à tout x associe le nombre dérivé f'(x).
La dérivée sert à étudier les variations d'une fonction.
comment déterminer les variations d'une fonction f?
Réponse:
Soit f une fonction continue et dérivable sur un intervalle I:
2) Si f'(x)<0, alors f est décroissante sur I
3) Si f'(x)=0, alors f est constante sur I.
Qu'est ce qu'un extremum?
Réponse:
Un extremum peut être soit un maximum (M) soit un minimum (m).
On dit que:
2) Si f admet un minimum, alors f(x)≥m pour tout x
Comment déterminer si une fonction f dérivable sur un intervalle admet un extremum?
Réponse:
La fonction f est dérivable sur un intervalle I et soit a un réel appartenant à I (différent des bornes de I).
On dit que:
Attention: La réciproque est fausse:
Exemple: f(x)=x3 alors f'(0)=0 mais f n'admet pas d'extremum en 0 (f'(x)=3x²≥0, pas de changement de signe)
Le domaine de définition d'une fonction dérivée f' et le domaine de définition d'une fonction f sont identiques?
Réponse:
Faux.
Alors la fonction f est dérivable si et seulement si x>-2 et donc son domaine de dérivabilité est Df'=]-2;+∞[
Soient f et g deux fonctions.
Comment déterminer la position de ces deux courbes?
Réponse:
Etudier la position de deux courbes, c'est déterminer sur quel intervalle l'une est située au-dessus de l'autre.
On dit que:
2) Si f(x)-g(x)<0, alors la courbe représentative de f est en-dessous de celle de g
3) Si f(x)-g(x)=0, alors la courbe représentative de f coupe celle de g (point d'intersection).
Si la fonction est croissante, quelle observation peut-on faire sur les tangentes?
Réponse:
Soit f une fonction croissante sur un intervalle I, alors on observe que toutes les tangentes à la courbe Cf ont un coefficient directeur positif.
De même, si f est une fonction décroissante sur un intervalle I, alors toutes les tangentes à la courbe Cf auraient un coefficient directeur négatif.
Une entreprise fabrique des composants électroniques.
Le bénéfice est égal à la recette moins les coûts de fabrication.
Comment savoir si cette entreprise réalise des bénéfices et quand celui-ci sera maximum?
Réponse:
On étudie les variations de la fonction B(x)=R(x)-C(x), où R fonction recette et C fonction coûts de fabrication.
On étudie le signe de la dérivée (on trouve la valeur x0 qui annule la dérivée: B'(x0)=0) puis on fait le tableau de variations (croissant puis décroissant).
On lit sur le tableau la valeur y0 (on calcule B(x0)=y0) qui correspond au maximum.
| x | | 0 | x0 | +∞ | ||
| B'(x) | | + | 0 | - | ||
| y0 | |||||
| B | | ↗ | ↘ | |||
Exponentielles:
Qu'est ce que la fonction exponentielle?
Réponse:
C'est l'unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant f'(x)=f(x) et f(0)=1.
Elle est notée: x⟼ex (ou exp(x))
Quelles sont les propriétés qui caractérisent la fonction exponentielle?
Réponse:
1) La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ.
2) La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
Soit f(x)=ex, définie sur ℝ.
Quel est le résultat du produit: f(x).f(-x)=?
Réponse:
f(x).f(-x)=ex.e-x=ex-x
f(x).f(-x)=e0=1
Comment simplifier l'expression suivante:
Réponse:
ea+h+ea+k=ea.eh+ea.ek=ea(eh+ek).
On factorise par ea