Question 1: Résoudre dans ℝ les équations suivantes:
a) x2 + 4x + 15 = 0;
b) -x2 - 3x + 4 = 0;
c) x2 - x - 2 = 0;
d) -2x2 + 4x - 2 = 0.
Correction:
a) Δ = b2 - 4a×c = - 44 < 0.
L'équation n'admet donc pas de solution;
b) Δ = b2 - 4a×c = 25 = 52.
L'équation admet deux solutions distinctes:
• x1 = (-b - √Δ)/(2a) = (3 - 5)/(-2) = 1 et
• x2 = (-b + √Δ)/(2a) = (3 + 5)/(-2) = -4.
c) Δ = b2 - 4a×c = 9 = 32.
L'équation admet deux solutions disitinctes:
• x1 = (-b - √Δ)/(2a) = (1 - 3)/2 = -1 et
• x2 = (-b + √Δ)/(2a) = (1 + 3)/2 = 2.
d) Δ = b2 - 4a×c = 0.
L'équation admet une seule racine:
x0 = -b/(2a) = -4/(-4) = 1.
Question 2: Donner la forme factorisée:
a) f(x) = x2 + 4x + 15;
b) g(x) = -x2 - 3x + 4;
c) h(x) = x2 - x - 2;
d) k(x) = -2x2 + 4x - 2.
Correction:
a) Δ < 0: le polynôme f n'est pas factorisable dans ℝ.
b) Δ = 52 et x1 = -4 et x2 = 1.
g admet deux racines réelles distinctes, on a:
g(x) = a(x - x1)(x - x2) = -1(x + 4)(x - 1).
c) Δ = 32 et x1 = -1 et x2 = 2.
h admet deux racines réelles distinctes, on a:
h(x) = a(x - x1)(x - x2) = 1(x + 1)(x - 2).
d) Δ = 0 et x0 = 1.
k admet une racine, on a:
k(x) = a(x - x0)2 = -2(x - 1)2.
Question 3:Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes:
a) x2 + 4x + 15 < 0;
b) -x2 - 3x + 4 ≥ 0;
c) x2 - x - 2 > 0;
d) -2x2 + 4x - 2 < 0.
Correction:
a) Δ = b2 - 4a×c = - 44 < 0. Alors (x2 + 4x + 15) est toujours du signe de a.
On a: a = 1 > 0.
Il n'y a pas de solution: S = ∅.
b) Δ = 52 et x1 = -4 et x2 = 1. (le signe de a à l'extérieur des racines et -le signe de a à l'intérieur des racines)
On a: a = -1 < 0.
L'ensemble des solutions de l'inéquation (-x2 - 3x + 4 ≥ 0) est donc:
S = [-4; 1].
c) Δ = 32 et x1 = -1 et x2 = 2. (le signe de a à l'extérieur des racines et -le signe de a à l'intérieur des racines)
On a: a = 1 > 0.
L'ensemble des solutions de l'inéquation (x2 - x - 2 > 0) est donc:
S = ]-∞; -1[ ∪ ]2; +∞[.
d) Δ = 0 et x0 = 1. (signe de a, sauf pour la valeur qui annule le polynôme)
On a: a = -2 < 0.
L'ensemble des solutions de l'inéquation (x2 - x - 2 > 0) est donc:
S = ℝ ∖ {1}.
Exercice 2:
Objectif: Etudier les variations des fonctions du second degré suivantes définies sur ℝ par:
a) f(x) = x2 - 2x + 11;
b) g(x) = -2x2 + 20x - 48;
c) h(x) = 3x2 + 1/3;
d) k(x) = -2x2 - 12x - 23.
Question 1: Calculer les coefficients α et β de la forme canonique de chacune de ces fonctions:
Correction:
a) a = 1; b = -2 et c = 11.
α = -b/(2a) = 2/2 = 1 et β = f(α) = f(1) = 10.
La forme canonique de f est:
f(x) = a(x - α)2 + β = 1(x - 1)2 + 10.
b) a = -2; b = 20 et c = -48.
α = -b/(2a) = 20/4 = 5 et β = f(α) = f(5) = 2.
La forme canonique de g est:
g(x) = a(x - α)2 + β = -2(x - 5)2 + 2.
c) a = 3; b = 0 et c = 1/3.
α = -b/(2a) = 0 et β = f(α) = f(0) = 1/3.
La forme canonique de h est:
h(x) = a(x - α)2 + β = 3(x - 0)2 + 1/3.
d) a = -2; b = -12 et c = -23.
α = -b/(2a) = 12/(-4) = -3 et β = f(α) = f(-3) = -5.
La forme canonique de k est:
k(x) = a(x - α)2 + β = -2(x + 3)2 - 5.
Question 2: En déduire les variations de ces fonctions:
Correction:
a) a = 1 > 0, f admet un minimum en x = 1 égal à 10.
La parabole représentative de la fonction f admet pour sommet le point S de coordonnées: S(α; β) soit S(1; 10).
f est strictement décroissante sur ]-∞; 1[ et strictement croissante sur ]1; +∞[.
b) a = -2 < 0, g admet un maximum en x = 5 égal à 2.
La parabole représentative de la fonction g admet pour sommet le point S de coordonnées: S(α; β) soit S(5; 2).
g est strictement croissante sur ]-∞; 5[ et strictement décroissante sur ]5; +∞[.
c) a = 3 > 0, h admet un minimum en x = 0 égal à 1/3.
La parabole représentative de la fonction h admet pour sommet le point S de coordonnées: S(α; β) soit S(0; 1/3).
h est strictement décroissante sur ]-∞; 0[ et strictement croissante sur ]0; +∞[.
d) a = -2 < 0, k admet un maximum en x = -3 égal à -5.
La parabole représentative de la fonction k admet pour sommet le point S de coordonnées: S(α; β) soit S(-3; -5).
k est strictement croissante sur ]-∞; -3[ et strictement décroissante sur ]-3; +∞[.
Exercice 3:
Question 1: Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f définie par:
f(x) = √(3x2 - 2x - 1).
Correction:
a = 3; b = -2 et c = -1.
Δ = b2 - 4ac = 16 = 42.
x1 = (-b - √Δ)/(2a) = (2 - 4)/6 = -1/3 et
x2 = (-b + √Δ)/(2a) = (2 + 4)/6 = 1.
On sait que f est définie si 3x2 - 2x - 1 ≥ 0.
Comme ce trinôme du second degré admet deux racines réelles distinctes et a = 3 > 0; il est donc du signe de a donc positif à l'extérieur des racines.
Conclusion: S = ]-∞; -1/3] ∪ [1; +∞[.
Question 2: Soit h la fonction définie par:
h(x) = (3x2 + 7x + 2)/(x2 - x - 2).
a)Déterminer l'ensemble de définition de h.
b) Résoudre dans ℝ l'équation h(x) = 0.
c) Résoudre dans ℝ l'inéquation h(x) < -1.
Correction:
a) Comme h(x) est un quotient de deux trinômes, il est donc défini pour tout réel x n'anulant pas le dénominateur.
a = 1; b = -1 et c = -2.
Δ = b2 - 4ac = 9 = 32.
x1 = (-b - √Δ)/(2a) = (1 - 3)/2 = -1 et
x2 = (-b + √Δ)/(2a) = (1 + 3)/2 = 4/2 = 2.
On sait que h est définie si x2 - x - 2 ≠ 0.
Conclusion: S = ℝ ∖ {-1;2}.
b) h(x) = 0 ⇔ 3x + 7x + 2 = 0.
a = 3; b = 7 et c = 2, d'où Δ = 25 = 52.
Deux racines réelles distinctes, x1 = -1/3 et x2 = -2.
Conclusion: l'ensemble des solutions de h(x) = 0 est:
S = {-2; -1/3}.
c) h(x) < -1 ⇔ h(x) + 1 < 0
⇔ (3x2 + 7x + 2 + x2 - x - 2)/(x2 - x - 2) < 0
⇔ (4x2 + 6x)/(x2 - x - 2) < 0
Considérons le numérateur: 4x2 + 6x = 2x(2x + 3).
Donc les racines du trinôme 4x2 + 6x sont 0 et -3/2.
Conclusion: S = ]-3/2; -1[ ∪ ]0; 2[.
Exercice 4:
Les questions 1 et 2 sont indéprendantes.
Question 1: Soit P la parabole d'équation y = -2x2 - 8 et la droite Dmd'équation y = mx, où m est un paramètre.
Déterminer m pour que P et Dm admettent un point commun.
Correction:
On doit résoudre l'équation: -2x2 - 8 = mx.
-2x2 - 8 = mx ⇔ -2x2 - mx - 8 = 0
⇔ 2x2 + mx + 8 = 0
a = 2; b = m et c = 8 d'où Δ = m2 - 4×2×8 = m2 - 64.
Cette équation a une unique solution si et seulement si
Δ = 0 soit m2 - 64 = 0
d'où m2 = 64 = 82 donc m = -8 ou m = 8.
P et Dm ont un point commun si et seulement si m = -8 ou m = 8.
Question 2: Soit P le polynôme suivant: P(x) = 4x3 + 2x2 - 2x - 1.
a) Montrer que (-1/2) est une racine de ce polynôme.
b) Déterminer les réels a, b et c telque pour tout réel x, P(x) = (x + 1/2)(ax2 + bx + c).
c) en déduire la résolution de l'équation: P(x) = 0.
Correction:
a) Montrer que (-1/2) est racine du polynôme revient à montrer que P(-1/2) = 0.
Calculons P(-1/2) = ?.
P(-1/2) = 4(-1/2)3 + 2(-1/2)2 - 2(-1/2) - 1
= -4/8 + 2/4 + 1 - 1 = -1/2 + 1/2 + 1 - 1 = 0.
(-1/2) est une racine du polynôme.
b) P(x) = (x + 1/2)(ax2 + bx + c)
= ax3 + (b + (1/2)a)x2 + (c + (1/2)b)x + (1/2)c
= 4x3 + 2x2 - 2x - 1.
Par identification, on a:
a = 4; b + 0,5a = 2; c + 0,5b = -2 et 0,5c = -1
On obtient: a = 4; c = -2 et b = 0.
On peut écrire: P(x) = (x + 1/2)(4x2 - 2).
c) P(x) = 0 ⇔ (x + 1/2)(4x2 - 2) = 0.
On écrit: 4x2 - 2 = 4(x2 - 1/2) d'où
P(x) = 4(x + 1/2)(x2 - 1/2).
Un produit de facteurs est nul si l'un de ses facteurs est nul: donc soit x + 1/2 = 0 soit x2 - 1/2 = 0.
Soit x = -1/2 soit x = -1/√2 ou x = 1/√2.
Exercice 5:
On cherche cinq entiers naturels consécutifs tels que la somme des carrés des trois premiers soit égale à la somme des carrés des deux derniers.
Correction:
On considère 5 entiers naturels consécutifs: n, (n + 1),
(n + 2), (n + 3) et (n + 4).
n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = (n + 3)2 + (n + 4)2
⇔ 3n2 + 6n + 5 = 2n2 + 14n + 25
⇔ n2 - 8n - 20 = 0.
a = 1; b = -8 et c = -20 d'où Δ = 144 = 122.
n1 = (8 - 12)/2 < 0 donc cette solution ne convient pas;
n2 = (8 + 12)/2 = 20/2 = 10.
Conclusion: Les cinq entiers naturels cherchés sont:
10; 11; 12; 13 et 14.
Vecteurs et Droites:
Exercice 1:
Si A et B sont deux points du plan et I le milieu du segment [AB], alors:
pour tout point M du plan, on a:
MA⃗ + MB⃗ = 2MI⃗ .
Question : Démontrer cette propriété:
Correction:
On sait que A et B sont deux points du plan et que I est le milieu de [AB].
M est un point du plan: MB⃗ + MA⃗ = (MI⃗ + IB⃗) + (MI⃗ + IA⃗) = 2MI⃗ + IB⃗ + IA⃗ .
I milieu de [AB] donc IB⃗ + IA⃗ = 0⃗.
Par conséquent: MA⃗ +MB⃗ = 2MI⃗
Exercice 2:
ABCD est un paralélogramme.
E est le milieu de [AD].
F est le point tel que: AF⃗ = 1/3AC⃗
Question 1: Exprimer les vecteurs BF⃗ et BE⃗ en fonction de BA⃗ et AD⃗ .
Correction:
BE⃗ = BA⃗ + AE⃗ or E est le milieu de [AD] donc AE⃗ = 1/2AD⃗
D'où 1/2AD⃗ + BA⃗ = BE⃗ .
BF⃗ = BA⃗ + AF⃗ = BA⃗ + 1/3AC⃗ (par hypothèse)
Or AC⃗ = AD⃗ + DC⃗ mais ABCD est un parallélogramme donc AB⃗ = DC⃗
d'où AC⃗ = AD⃗ + AB⃗ = AD⃗ - BA⃗
BF⃗ = BA⃗ + 1/3AC⃗ = BA⃗ + 1/3(AD⃗ - BA⃗)
BF⃗ = BA⃗ + 1/3AD⃗ - 1/3BA⃗
Conclusion: BF⃗ = 2/3BA⃗ + 1/3AD⃗
Question 2: Démontrer que les points B, E et F alignés.
Correction:
BF⃗ = 1/3AD⃗ + 2/3BA⃗ = 2/3(1/2AD⃗ + BA⃗)
Or 1/2AD⃗ + BA⃗ = BE⃗
Donc BF⃗ = 2/3BE⃗
Les vecteurs BF⃗ et BE⃗ sont colinéaires.
Les points B, E et F sont alignés.
Exercice 3:
Question 1: Déterminer une équation cartésienne de la droite d de vecteur directeur u⃗(-32) passant par A(-1; 4).
Correction:
On considère le point M(x; y), on a:
AM⃗(x-(-1)y-4) soit (x+1y-4). Rappel: Le point M est un point de la droite d si et seulement si les vecteurs AM⃗ et u⃗ sont colinéaires.
M ∈ d ⇔ les vecteurs AM⃗ et u⃗ sont colinéaires
⇔ (x + 1)×2 - (-3)×(y - 4) = 0
⇔ 2x + 2 + 3y - 12 = 0
⇔ 2x + 3y - 10 = 0.
Question 2: On considère la droite d d'équation: x - 3y + 1 = 0.
a) Déterminer un vecteur directeur de la droite d.
b) Déterminer les coordonnées d'un point de d.
Correction:
a) Un vecteur directeur de la droite d est: u⃗(-ba) soit (-31) .
b) On choisit x = 0, alors on a: 0 - 3y + 1 =0 d'où y = 1/3.
Le point A(0; 1/3) est un point de la droite d.
Exercice 4:
Dans un repère (O; I; J), on considère les points A(4; -3), B(2; 1), C(-2; 6) et D(3; -1).
Question 1: Donner une équation cartésienne de la droite (AB).
Correction:
le vecteur AB⃗ est un vecteur directeur de la droite (AB):
AB⃗(2-41-(-3)) soit (-24) Rappel: Le point M est un point de la droite (AB) si et seulement si les vecteurs AM⃗ et AB⃗ sont colinéaires.
M ∈ (AB) ⇔ les vecteurs AM⃗ et AB⃗ sont colinéaires
⇔ (x - 4)×4 - (-2)×(y + 3) = 0
⇔ 4x - 16 + 2y + 6 = 0
⇔ 4x + 2y - 10 = 0
⇔ 2x + y - 5 = 0.
Question 2:Les points C et D appartiennent-ils à la droite (AB)?
Correction:
Si les points Cet D appartiennent à la droite (AB) alors leurs coordonnées vérifient l'équation de la droite (AB);
C(-2; 6), 2xC + yC - 5 = 2×(-2) + 6 - 5 = -4 + 1 = -3 ≠ 0: donc C n'appartient pas à la droite (AB).
D(3; -1), 2xD + yD - 5 = 2×3 - 1 - 5 = 6 - 6 = 0: donc D appartient à la droite (AB).
Question 3:Déterminer l'abscisse du point E d'ordonnée 3 qui apartient à la droite (AB).
Correction:
Le point E appartient à la droite (AB), donc les coordonnées de E vériifient:
2xE + yE - 5 = 0 soit 2xE + 3 - 5 = 0 soit 2xE - 2 = 0 donc xE = 2/2 = 1.
LEs coordonnées de E: E(1; 3).
Exercice 5:
dans un repère (O; I; J), les droites d et d' ont pour équations respectives:
2x - y + 3 = 0 et 3x + 2y - 4 = 0.
Question 1: Vérifier que les droites d et d' ne sont pas parallèles.
Correction:
• La droite d a pour vecteur directeur u⃗(12).
• La droite d' a pour vecteur directeur v⃗(-23).
Vérifions que la condition de colinéarité n'est pas vérifiée:
x×y' - x'×y = 1×3 - 2×(-2) = 3 + 4 = 7 ≠ 0.
Donc les vecteurs u⃗ et v⃗ ne sont pas colinéaires.
Conclusion: Les droites d et d' ne sont pas paralléles.
Question 2:Calculer les coordonnées du point d'intersection I des droites d et d'.
Correction:
On doit résoudre le système suivant:
{2x-y+3=03x+2y-4=0 ⇔ {y=2x+33x+2(2x+3)-4=7x+2=0.
⇔ {7x+2=0y=2x+3 ⇔ {x=-2/7y=2×(-2/7)+3=-4/7+21/7=17/7.
Le point d'intersection I des droites d et d' a pour coordonnées:
I(-2/7; 17/7).
Question 3:Démontrer que le point I appartient à la droite d" d'équation 14x + 7y - 13 = 0.
Que peut-on en déduire pour les droites d, d' et d''.
Correction:
I(-2/7; 17/7) si I appartient à la droite d" alors ses coordonnées vérifient l'équation de la droite d".
14×(-2/7) + 7×17/7 - 13 = -4 +17 - 13 = 0, donc I ∈ d".
I appartient à d, d' et d": les droites d, d' et d" sont concourantes en I.
Dérivation: Partie 1
Exercice 1:
Question 1: Soit f définie par:
f(x) = -2x2 - x + 4.
Montrer que f est dérivable en 0 et déterminer f'(0).
Correction:
f(x) = -2x2 - x + 4;
On a: f(0 + h) = -2h2 - h + 4 et f(0) = 4
[f(0 + h) - f(0)]/h = (-2h2 - h)/h = [h(-2h - 1)]/h
[f(0 + h) - f(0)]/h = -2h - 1.
limh→0(-2h - 1) = -1.
Donc f est dérivable en 0 et f'(0) = -1.
Question 2: Soit g définie par:
g(x) = 2√(x + 1) + x.
Montrer que g est dérivable en 0 et déterminer g'(0).
et C sa courbe représentative dans un repère (O; I; J). Question 1: Déterminer une équation de la tangente (Ta) à la courbe C au point A d'abscisse a.
Correction:
Equation tangente (TA) au point d'abscisse a:
y = f'(a)(x - a) + f(a).
Calculons f'(a):
[f(a + h) - f(a)]/h = [-(a + h)2 + 2(a + h) - 4 - (-a2 + 2a - 4)]/h
= [[-(a + h)2 + 2(a + h) + a2 - 2a]/h = [-h2 + 2h - 2ah]/h
= [-h2 + 2h(1 - a)]/h = h[-h + 2(1 - a)]/h
= -h + 2(1 - a).
limh→0(-h + 2(1 - a)) = 2(1 - a).
Donc f est bien dérivable en a et f'(a) = 2 - 2a.
L'équation de la tangente (TA) est:
y = (2 - 2a)(x - a) + (-a2 + 2a - 4) = (2 - 2a)x - 2a + 2a2 - a2 + 2a - 4
y = (2 - 2a)x + a2 - 4.
Question 2: En déduire les coordonnées des deux points A1 et A2 de C appartenant respectivement aux tangentes aux tangentes
(T1) et (T2) qui passent par l'origine du repère.
Donner les équations de (T1) et (T2).
Correction:
La tangente (TA) passe par l'origine si et seulement si l'ordonnée à l'origine est nulle (fonction linéaire):
c'est à dire:
a2 - 4 = O soit a2 = 4 donc a = 2 ou a = -2.
• Si a = -2: les coordonnées du point A1 sont: A1(-2; -12).
L'équation de (T1) est: y = (2 - 2a)x donc y = 6x.
• Si a = 2: les coordonnées du point A2 sont: A2(2; -4).
L'équation de (T2) est: y = (2 - 2a)x donc y = -2x.
.
Exercice 3:
Justifier la dérivabilité et calculer la dérivée des fonctions suivantes: Question 1: Soit la fonction f définie sur I = ]-∞; 2/3[ ∪ ]2/3; +∞[ par f(x) = 1/(2 - 3x).
Correction:
La fonction 2 - 3x est une fonction affine, donc dérivable sur ℝ.
Cette fonction ne s'annule pas sur I.
Donc sa fonction inverse 1/(2 - 3x) est définie et dérivable sur I.
f(x) = 1/u(x) donc f'(x) = -u'(x)/u2(x).
On a: u(x) = 2 - 3x et u'(x) = -3
Donc f'(x) = 3/(2 - 3x)2.
Question 2: Soit la fonction g définie sur J = ]-∞; -1[ ∪ ]-1; 1[ ∪ ]1; +∞[ par g(x) = (1 + x)/(x2 - 1).
Correction:
La fonction x2 - 1 est une fonction polynôme, donc dérivable sur ℝ.
Cette fonction ne s'annule pas sur J (car x2 - 1 = (x - 1)(x + 1) = 0
d'où x = -1 ou x = 1).
Donc la fonction (x + 1)/(x2 - 1) est définie et dérivable sur J.
f(x) = u(x)/v(x) donc f'(x) = [u'(x)×v(x) - u(x)×v'(x)]/v2(x).
On a: u(x) = 1 + x et u'(x) = 1
v(x) = x2 - 1 et v'(x) = 2x.
Donc f'(x) = [1×(x2 - 1) - 2x×(1 + x)]/(x2 - 1)2
f'(x) = [x2 - 1 - 2x - 2x2]/(x2 - 1)2
f'(x) = [3x2 - 2x + 1]/(x2 - 1)2.
Exercice 4:
Soient les fonctions f et g définies sur ℝ et sur ℝ* par:
• f(x) = -3x2 + 2;
• g(x) = 6/x - 7.
On désigne par Cf et Cg les courbes représentatives de f et de g dans un repère orthonormé (O; I; J).
Question 1: En utilisant les taux de variation, démontrer que f et g sont dérivables en 1.
Donner alors les valeurs de f'(1) et g'(1).
Conclusion:
f est dérivable en 1 et g est dérivable en 1, de plus f'(1) = -6 et g'(1) = -6.
Question 2: Démontrer que Cf et Cg admettent la même tangente T au point A d'abscisse d'abscisse 1.
Déterminer une équation de T.
Correction:
f'(1) = g'(1) = -6.
Les tangentes ont le même coefficient directeur, elles sont donc parallèles.
De plus f(1) = g(1) = -1, les courbes Cf et Cg ont le point A(1; -1) en commun.
Les tangentes passent par A et ont le même coefficient directeur.
Donc Cf et Cg admettent la même tangente au point d'abscisse a = 1.
Equation de T:
y = f'(1)(x - 1) + f(1)
y = -6(x - 1) + (-1)
y = -6x + 6 - 1
y = -6x + 5.
L'équation de la tangente T est: y = -6x + 5.
Exercice 5:
On veut construire une rampe de skateboard.
La figure ci-dessus représente le plan de fabrication:
La distance au sol entre A et B est de six mètres et le dénivelé en B est de deux mètres.
Le point I est le milieu du segment [AB].
On réalise cette rampe à l'aide de deux arcs de parabole AI et IB, avec les contraintes suivantes:
• Ces deux arcs représentent une fonction f définie sur l'intervalle [0;6];
• La tangente en I est commune aux deux arcs;
• Le repère indiqué d'origine A est orthonormé;
• Les tangentes en A et B sont horizontales.
Pour la réalisation de la rampe, certains éléments ont besoin d'être précisés.
Question 1: Trouvez une équation de la forme y = ax2 + bx + c pour chacun des arcs de parabole.
Correction:
• Sur [0; 3], on pose f1(x) = ax2 + bx + c:
f1(0) = 0; f1(3) = 1 et f'1(0) = 0 car tangente horizontale.
Donc f1(0) = 0 ⇔ c = 0; f'1(0) = 0 ⇔ b = 0 (car f'1(x) = 2ax + b)
et f1(3) = 9a + 3b = 1 soit 9a = 1 donc a = 1/9. Conclusion:
Sur [0; 3], f1(x) = 1/9x2.
• Sur [3; 6], on pose f2(x) = cx2 + dx + e:
f2(6) = 2; f2(3) = 1 et f'2(6) = 0 car tangente horizontale.
De plus, en utilisant la forme canonique: f2(x) = a(x - α)2 + β avec comme sommet B(6; 2) d'où α = 6 et β = 2.
Donc f2(x) = a(x - 6)2 + 2
f2(3) = 1 d'où a(3 - 6)2 + 2 = 1 ⇔ 9a = 1 - 2 = -1 ⇔ a = -1/9
D'où f2(x) = -1/9(x - 6)2 + 2 = -1/9(x2 - 12x + 36) + 2 = -1/9x2 + 4/3x - 2. Conclusion:
Sur [3; 6], f2(x) = -1/9x2 + 4/3x - 2.
Question 2: Déduisez-en les expressions de f suivant les intervalles [0;3] et [3;6].
Correction:
f(x) = (1/9x2 si x ∈ [0; 3]-1/9x2 + 4/3x - 2 si x ∈ [3; 6].
Trigonométrie:
Exercice 1:
On sait que:
cos(π/5) = (√5 + 1)/4.
Question 1: Déterminer la valeur exacte de: sin(π/5).
Question : Déterminer la valeur exacte de:
A = cos2(π/12) + cos2(3π/12) + cos2(5π/12) + cos2(7π/12) + cos2(9π/12) + cos2(11π/12).
On expliquera de façon synthétique et concise.
Question 1: Résoudre dans ℝ l'équation suivante:
cos(x) = 1/2.
Correction:
cos(x) = 1/2 = cos(π/3) (valeurs remarquables).
cos(a) = cos(b) ⇔ a = b + 2kπ ou a = -b + 2kπ.
cos(x) = cos(π/3) alors les solutions dans ℝ sont:
x = π/3 + 2kπ ou -π/3 + 2kπ.
Question 2: Résoudre dans ℝ l'équation suivante:
sin(x) = -√2/2, puis déterminer les solutions appartenant à l'intervalle [0; 2π[.
Correction:
sin(x) = -√2/2 = sin(-π/4) (car sin(-x) = -sin(x) et sin(π/4) = √2/2).
sin(a) = sin(b) ⇔ a = b + 2kπ ou a = π - b + 2kπ
sin(x) = sin(-π/4) alors les solutions dans ℝ sont:
x = -π/4 + 2kπ ou x = π - (-π/4) + 2kπ = 5π/4 + 2kπ.
Dans l'intervalle [0; 2π[, les solutions sont:
• k = -1, x = -π/4 - 2π = -9π/4 ou x = 5π/4 - 2π = -3π/4 (ne conviennent pas);
• k = 0, x = -π/4 (ne convient pas) ou x = 5π/4;
• k = 1, x = -π/4 + 2π = 7π/4 ou x = 5π/4 + 2π = 13π/4 (ne convient pas);
• k = 2, x = -π/4 + 4π = 15π/4 ou x = 5π/4 + 4π = 21π/4 (ne conviennent pas).
Les solutions dans l'intervalle [0; 2π[: S = {5π/4; 7π/4}.
Exercice 4:
A, B, C, D et E cinq points distincts du plan tels que:
• (AB⃗, AC⃗) = -47π/12 (2π);
• (AC⃗, AD⃗) = 123π/4 (2π);
• (AB⃗, AE⃗) = 53π/6 (2π);
Question 1: Déterminer la mesure principale de chacun des trois angles orientés précédents.
Question 2: Démontrer, à l'aide de la relation de Chasles, que les points A, D et E sont alignés
Correction:
(AD⃗,AE⃗) = (AD⃗, AC⃗) + (AC⃗, AB⃗) + (AB⃗, AE⃗ )
(AD⃗,AE⃗) = -(AC⃗, AD⃗) - (AB⃗, AC⃗) + (AB⃗, AE⃗ ) = -3π/4 - π/12 + 5π/6 = 0. Conclusion:
Les points A, D et E sont alignés.
Exercice 5:
ABC est un triangle rectangle en A direct tel que BC = 2AC.
ACD est un triangle rectangle isocèle en C direct et BAE est un triangle équilatéral direct.
Question : Déterminer la mesure principale de chacun des trois angles orientés suivants:
a) (AD⃗, AE⃗);
b) (CB⃗, AD⃗);
c) (EA⃗, BC⃗).
a) 18 + 7 = 25; 25 + 7 = 32: progression arithmétique de 1er terme 18 et de raison r = 7.
Cherchons le nombre de termes:
165 = 7×23 + 4 et 18 = 7×2 + 4, d'où S1 = u2 + ... + u23
et donc le nombre de termes est: 23 - 2 + 1 = 22
S1 = 22×(18 + 165)/2 = 11×183 = 2013.
b) 1×3 = 3; 3×3 = 9: progression géométrique de 1er terme 1 et de
raison q = 3.
Cherchons le nombre de termes:
30 = 1 et 311 = 177147
Il y a (11 + 1) termes soit 12.
S2 = 1×(1 - 312)/(1 - 3) = 265720.
Question 2: Déterminer trois nombres réels en progression arithmétique dont la somme est égale à 33 et la somme des carrés est égale à 413:
Correction:
Soit n le second nombre, on a:
(n - r) + n + (n + r) = 3n = 33
⇔ n = 11
Afin de trouver les deux autres, cherchons la raison:
(n - r)2 + n2 + (n + r)2 = 413
⇔ n2 - 2rn + r2 + n2 + n2 + 2rn + r2 = 3n2 + 2r2 = 413
⇔ 3×112 + 2r2 = 363 + 2r2 = 413
⇔ 2r2 = 50
⇔ r2 = 25 soit r = 5 ou r = -5. Conclusion: 1er cas: r = 5
• n - r = 11 - 5 = 6;
• n = 11;
• n + r = 11 + 5 = 16. 2nd cas: r = -5
• n - r = 11 + 5 = 16;
• n = 11;
• n + r = n - 5 = 6.
Exercice 2:
La suite (un) est arithmétique de raison r.
On sait que:
u50 = 406 et u100 = 806.
Question 1: Calculer la raison r et u0.
Correction:
• un = up + (n - p)r
donc u100 = u50 + (100 - 50)r
806 = 406 + 50r soit 50r = 400 d'où r = 8.
• u50 = u0 + 50r (car un = u0 + nr)
406 = u0 + 50×8 = u0 + 400
soit u0 = 406 - 400 = 6.
Question 2: Calculer la somme S = u50 + u51 + ... + u100.
Correction:
S = u50 + u51 + ... + u100
Le nombre de termes est: n - p + 1 soit 100 - 50 + 1 = 51, il y a 51 termes.
S = 51×(u50 + u100)/2 = 51×(406 + 806)/2 = 30906.
Exercice 3:
Une entreprise décide de verser à ses ingénieurs une prime annuelle de 500 Euros.
Pour ne pas se dévaluer, il est prévu que chaque année la prime augmente de 2% par rapport à l'année précédente.
On note (un) la suite des primes avec u1 = 500.
Question 1: Calculer u2 puis u3 (c'est-à-dire la prime versée par l'entreprise la 2ème année et la 3ème année).
Question 2: Exprimer un+1 en fonction de un.
En déduire la nature de la suite (un).
Correction:
La prime un+1 s'obtient de la prime un par augmentation de 2% donc :
un+1 = un + un×2/100 = un×(1 + 2/100) = 1,02×un, pour tout entier n ≥ 1.
La suite (un) est donc géométrique de raison q = 1,02 et de 1er terme u1 = 500.
On en déduit que:
un = u1×qn - 1
un = 500×(1,02)n-1.
Un ingénieur compte rester 20 ans dans cette entreprise à partir du moment où est versée la prime.
Question 3: Calculer la prime qu'il touchera la 20ème année (c'est-à-dire u20).
Correction:
un = 500×(2)n-1.
Donc u20 = 500×1,0220-1 = 500×1,0219
u20 ≈ 728,41.
La prime que touchera l'ingénieur dans 20 ans sera d'un montant de 728,41 euros (à 10-2 près).
Question 4: Calculer la somme totale S des primes touchées sur les 20 années
(c'est-à-dire S = u1 + u2 + u3 + ... + u20).
Correction:
S = u1 + u2 + ... + u20 est une somme de 20 termes (de 1 à 20) d'une suite géométrique de raison q = 1,02.
D'après le cours, on a:
S = u1×(1 - qnombre de termes)/(1 - q) = 500×(1 - 1,0220)/(1 - 1,02)
S ≈ 12148,69 (à 10-2 près).
Exercice 4:
On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout n, un+1 = (1/3)un + 4.
On pose, pour tout n, vn = un - 6.
Question 1: Pour tout n, calculer vn+1 en fonction de vn.
Quelle est la nature de la suite (vn).
Correction:
vn+1 = un+1 - 6 = (1/3)un + 4 - 6
vn+1 = (1/3)un - 2 = (1/3)×(un - 6)
vn+1 = (1/3)vn.
La suite (vn) est une suite géométrique de raison q = 1/3 et de 1er terme v0 = u0 - 6 = 1 - 6 = -5.
Question 2: Démontrer que, pour tout n, un = -5×(1/3)n + 6.
En déduire la nature de la suite (un).
Correction:
On sait que la suite (vn) est une suite géométrique de raison q = 1/3
et V0 = -5.
On a: vn = v0×(q)n = -5×(1/3)n.
Comme vn = un - 6 alors un = vn + 6.
D'où un = -5×(1/3)n + 6.
Question 3: Sur un graphique représentant f: x → (1/3)x + 4, placer sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite.
Correction:
Représentation graphique:
Exercice 5:
On considère la suite (un) définie par u0 = 800 et pour tout n, un+1 = (3/4)un + 330.
Question 1: L'algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle un est supérieure ou égal à 1100.
Recopier et complèter cet algorithme:
Variables: n un entier naturel
U un réel
Initialisation: Affecter à n la valeur 0
Affecter à U la valeur 800
Traitement: TantQue U < 1100 faire:
Affecter à U la valeur ...
Affecter à n la valeur ...
Fin tantQue
Sortie: Afficher n.
Correction:
Variables: n un entier naturel
U un réel
Initialisation: Affecter à n la valeur 0
Affecter à U la valeur 800
Traitement: TantQue U < 1100 faire:
Affecter à U la valeur (3/4)U + 330
Affecter à n la valeur n + 1
Fin tantQue
Sortie: Afficher n.
Question 2: On pose, pour tout n, vn = un - 1320.
Montrer que (vn) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.
Correction:
vn+1 = un+1 - 1320 = (3/4)un + 330 - 1320
vn+1 = (3/4)un - 990 = (3/4)×(un - 1320)
vn+1 = (3/4)vn.
C'est une suite géométrique de raison q = 3/4 et
de 1er terme v0 = u0 - 1320 = 800 - 1320 = -520.
Question 3: En déduire vn en fonction de n.
En déduire que, pour tout n, un = 1320 - 520×(3/4)n.
Correction:
• Comme la suite (vn) est géométrique, on a:
vn = v0×(q)n = -520×(3/4)n;
• vn = un - 1320 alors un = vn + 1320.
D'où un = -520×(3/4)n + 1320.
Question 1: Déterminer le ou les intervalles sur lesquels les fonctions sont dérivables.
Correction:
• f est définie et dérivable sur ℝ
• g est définie sur [0; + ∞[ et dérivable sur ]0; + ∞[;
• h est définie et dérivable sur ℝ
• l est définie et dérivable sur ℝ (car x2 + x + 2 ≠ 0: Δ < 0 donc pas de solution).
Question 2: Calculer la dérivé f'(x) des fonctions.
On considère la fonction suivante f définie sur ℝ:
f(x) = x3 - 3x2 - 1;
Question 1: Calculer f'(x).
Correction:
f est définie et dérivable sur ℝ:
f'(x) = 3x2 - 6x = 3x(x - 2).
Question 2: Donner le signe de f'(x).
Correction:
f'(x) = 3x(x - 2), f'(x) = 0 alors x = 0 ou x = 2 (un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul:
A×B = 0 ⇔ soit A = 0 soit B = 0)
• f'(x) > 0 alors x ∈ ]-∞; 0[ ∪ ]2; +∞[;
• f'(x) ≤ 0 alors x ∈ [0; 2].
Question 3: En déduire les variations de f(x).
Correction:
• La fonction f est strictement croissante si x ∈ ]-∞; 0[ ∪ ]2; +∞[;
• La fonction f est décroissante si x ∈ [0; 2].
• f admet un maximum local égal à f(0) = -1, atteint pour x = 0;
• f admet un minimum local égal à f(2) = -5, atteint pour x = 2
Question 4: Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse
a = 1.
Correction:
Equation tangente T au point d'abscisse a = 1:
y = f'(1)(x - 1) + f(1) avec f'(1) = 3×1(1 - 2) = -3 et f(1) 1 - 3 - 1 = -3.
y = -3(x - 1) - 3 = -3x + 3 - 3
y = -3x.
Une équation de la tangente T au point d'abscisse 1 est: y = -3x.
Exercice 3:
On considère la fonction suivante f définie sur ℝ:
f(x) = x3
Soit Cf sa courbe représentative.
Soit Ta la tangente à Cf au point d'abscisse a. Question 1: Donner une équation de T1.
Correction:
f est définie et dérivable sur ℝ: f'(x) = 3x2.
Equation de T1 au point d'abscisse a = 1: y = f'(1)(x - 1) + f(1)
Avec f'(1) = 3 et f(1) = 1, d'où y = 3(x - 1) + 1
y = 3x - 3 + 1 y = 3x - 2.
une équation de T1 est: y 3x - 2.
Question 2: Vérifier que le point A(-7/3; -9) appartient à T1.
Correction:
Si A appartient à la tangente alors ses coordonnées vérifient cette dernière.
3xA - 2 = 3×(-7/3) - 2 = -9 = yA.
A apprtient à T1.
Question 3: Ecrire une équation de Ta.
Correction:
Equation tangente Ta:
y = f'(a)(x - a) + f(a)
y = 3a2(x - a) + a3
y = 3a2x - 3a3 + a3
y = 3a2x - 2a3.
Question 4: Montrer que Ta passe par A si et seulement si 2a3 + 7a2 - 9 = 0.
Question 3: Etudier le signe de f’(x) puis donner les variations de f.
Correction:
(x2 + 3)2 > 0 pour tout x réel; donc f'(x) est du signe de: −12x2 − 24x + 36.
• Δ = b2 - 4ac = 2304 = 482.
Δ > 0 2 racines distinctes: x1 = -3 et x2 = 1.
Donc le polynome est du signe de a (a = -12 < 0) donc négatif à l'extérieur des racines et positif à l'intérieur des racines:
• f'(x) < 0 si x ∈ ]-∞; -3[ ∪ ]1; +∞[;
• f'(x) > 0 si x ∈ [-3; 1]. Variations:
• f est strictement décroissante sur ]-∞; -3[ ∪ ]1; +∞[;
• f est croissante sur [-3; 1].
Question 4: f possède-t-elle des extrema locaux? Justifier votre réponse.
Correction:
La dérivée s'annule en changeant de signes en – 3 et en 1.
Donc la fonction f possède deux extréma locaux:
• Le minimum de la fonction f est 0 (= f(-3)) atteint en -3;
• Le maximum de la fonction f est 8 (= f(1)) atteint en 1.
Question 5: Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe de cette fonction au point d’abscisse 0.
Correction:
La tangente au point d'abscisse 0 a une équation de la forme:
y = f'(0)(x - 0) + f(0) avec f'(0) = 4 et f(0) = 18/3 = 6
Équation d'une tangente au point d'abscisse a = 0 est: y = 4x + 6.
Exercice 5:
ABCD est un carré de côté 1.
M est sur le segment [AB].
On place le point N tel que CN = AM sur la demi droite [BC) à l'extérieur du segment [BC].
La droite (MN) coupe (DC) en P. Figure:
On pose AM = x avec 0 ≤ x ≤ 1. Objectif: Trouver M sur [AB] tel que la distance PC soit maximale.
Question 1: Démontrer que: PC = (x – x2)/(1 + x).
Correction:
Les droites (BM) et (CP) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles NCP et NBM:
NC/NB = NP/NM = CP/BM
x/(x + 1) = PC/(1 - x)
[x(1 - x)]/(1 + x) = PC
Donc PC = (x - x2)/(1 + x).
Question 2: Etudier les variations de la fonction f définie sur [0;1] par:
f(x) = (x – x2)/(1 + x).
Correction:
x ∈ [0; 1], f est définie et dérivable sur [0; 1].
Forme: (u/v)' = [u'v - uv']/v2
On pose:
• u(x) = x - x2 d'où u'(x) = 1 - 2x
• v(x) = x + 1 d'où v'(x) = 1.
f'(x) = [(1 - 2x)×(x + 1) - (x - x2)×1]/(x + 1)2
f'(x) = [x + 1 - 2x2 - 2x - x + x2]/(x + 1)2
f'(x) = [-x2 - 2x + 1]/(x + 1)2.
f'(x) est du signe de son numérateur: -x2 - 2x + 1 (car pour tout x ∈ [0; 1],
(x + 1)2 > 0).
Δ = (2√(2))2 d'où x1 = -1 - √(2) et x2 = -1 + √(2).
Seule la solution x2 = √(2) - 1 convient car x2 ∈ [0; 1].
Donc on a: (a = -1 < 0)
• f'(x) ≥ 0 si x ∈ [0; √(2) - 1];
• f'(x) ≤ 0 si x ∈ [√(2) - 1; 1]. Variations:
• f est croissante sur [0; √(2) - 1];
• f est décroissante sur [√(2) - 1; 1];
• le maximum de la fonction f est atteint pour x = √(2) - 1.
Question 3: En déduire la valeur de x pour laquelle la distance PC est maximale.
Correction:
f atteint un maximum sur [0;1] pour x = √(2) - 1.
La distance PC est donc maximale pour x = √(2) - 1 (≈ 0,414).
On dispose de deux dés cubiques, parfaitement équilibrés.
Le dé n°1 a cinq faces rouges et une face verte.
Le dé n°2 a une face rouge, deux vertes et trois bleues.
On jette les deux dés, on gagne cinq euros si les deux faces obtenues sont rouges, 2 euros si elles sont vertes et on perd un euro si les deux faces sont de couleurs distinctes.
On note G la variable aléatoire donnant le gain algébrique à ce jeu.
Question 1: Déterminer la loi de probabilté de G.
Correction:
G peut prendre les valeurs -1, 2 ou 5.
• Tableau explicatif:
Dé 2 / Dé 1
R
R
R
R
R
V
R
5
5
5
5
5
-1
V
-1
-1
-1
-1
-1
2
V
-1
-1
-1
-1
-1
2
B
-1
-1
-1
-1
-1
-1
B
-1
-1
-1
-1
-1
-1
B
-1
-1
-1
-1
-1
-1
• Loi de probabilité:
xi
-1
2
5
P(X=xi) = pi
29/36
2/36
5/36
Question 2: Calculer l'espérance mathématique de G.
Correction:
E(X) = x1×p1 + x2×p2 + x3×p3
E(X) = (-1)×(29/30) + 2×(2/36) + 5×(5/36)
E(X) = -29/36 + 4/36 + 25/36 = -29/36 + 29/36
Donc E(X) = 0, le jeu est équitable.
Question 3: Calculer sa variance et son écart-type.
Alexis dispose d'un dé tétraédrique qui détermine de façon équiprobable un nombre parmi 1, 2, 3 et 4.
Victoria dispose d'un dé octaédrique qui détermine de façon équiprobable un nombre parmi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8.
On jette les deux dés, si le dé d'Alexis indique un nombre strictement supérieur à celui de Victoria, alors Victoria donne 12 euros à Alexis.
Si les numéros indiqués sont identiques alors la partie est nulle.
Si le dé d'Alexis indique un numéro strictement inférieur à celui de Victoria, Alexis donne 3 euros à Victoria.
On note G la variable aléatoire donnant le gain algébrique d'Alexis à ce jeu.
Question 1: a) Quelles sont les valeurs prises par G.
b) Déterminer la loi de probabilité de G.
Correction:
a) G peut prendre les valeurs: -3; 0 ou 12.
b) Loi de probabilité:
• Tableau explicatif:
Dé 2 / Dé 1
1
2
3
4
1
0
12
12
12
2
-3
0
12
12
3
-3
-3
0
12
4
-3
-3
-3
0
5
-3
-3
-3
-3
6
-3
-3
-3
-3
7
-3
-3
-3
-3
8
-3
-3
-3
-3
• Loi de probabilité:
xi
-3
0
12
P(X=xi) = pi
22/32
4/32
6/32
Question 2: Calculer l'espérance mathématique de G. Le jeu est-il équitable?
Correction:
E(X) = (-3)×(22/32) + 0×(4/32) + 12×(6/32)
E(X) = (-66/32) + (72/32)
E(X) = 6/32 = 3/16.
Comme E(X) = 3/16 ≠ 0, le jeu n'est pas équitable.
Question 3: On remplace les 12 euros par a euros.
Quelle valeur faut-il donner à a pour que le jeu soit équitable?
Correction:
On veut que le jeu soit équitable: on remplace 12 par a.
Cherchons la valeur de a:
E(X) = (-3)×(22/32) + 0 + a×(6/32)
E(X) = -66/32 + (6a/32) = 0
Donc -66 + 6a = 0 ⇔ 6a = 66 ⇔ a = 66/6
⇔ a = 11.
Exercice 4:
Un professeur d'informatique se déplace à domicile.
On note X le nombre de cours sur une journée.
On considère la loi de probabilité d'une variable aléatoire X:
xi
0
1
2
3
4
5
P(X=xi) = pi
0,03
0,09
0,15
0,38
0,18
0,17
Chaque cours lui rapporte 80 euros et ses frais de déplacement quotidiens s'élèvent à 10 euros.
On note G son gain journalier.
On sait que chaque cours lui rapporte 80 euros et que les frais quotidiens de déplacement sont de 10 euros;
Donc on a:
le gain journalier G est tel que: G = 80×X - 10.
Question 3: En déduire E(G). Conclure.
Correction:
G = 80×X - 10 d'où E(G) = E(80×X - 10) = 80×E(X) - 10
(car E(aX+b) = a×E(X) + b)
E(G) = 80×3,1 - 10
E(G) = 238. Conclusion: Le professeur peut espérer, en moyenne, un gain journalier de 238 euros.
Exercice 5:
Une urne contient 10 boules blanches et n boules rouges, où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Un joueur tire successivement deux boules de l'urne avec remise.
A chaque tirage, chacune des boules a la même probabilité d'être tirée
Pour chaque boule blanche tirée, le joueur gagne 5 euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd 10 euros.
On appelle G la variable aléatoire égale au gain algébrique obtenu par le joueur suite à ces deux tirages.
Question 1: Quelles sont les valeurs prises par G?
Correction:
G peut prendre les valeurs suivantes:
• -20 (le joueur tire deux boules rouges);
• -5 (le joueur tire une blanche et une rouge ou une rouge et une blanche);
• 10 (le joueur tire deux boules blanches).
Question 2: Démontrer que P(G = -5) = 20n/(n+10)2.
Question 5: Déterminer pour quelles valeurs de n le jeu est favorable au joueur.
Correction:
Le jeu est favorable au joueur si E(G) > 0
ce qui équivautà:
-n2 - 5n + 50 > 0 (car (n+10)2 > 0).
Δ = b2 - 4ac = 25 + 200 = 225 = 152 > 0 donc deux racines réelles distinctes:
x1 = -10 et x2 = 5.
Donc E(G) > 0 si 2 ≤ n < 5 Conclusion:
Ce jeu est favorable au joueur lorsqu'il y a 2; 3 ou 4 boules rouges.
Lois binomiales:
Exercice 1:
Question :Sous l'hypothèse que 2% des êtres humains sont gauchers, calculer la probabilité que parmi 100 personnes, 3 au plus soient gauchères.
Correction:
On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes gauchères.
On considère l’épreuve de Bernouilli qui consiste à prendre une personne au hasard parmi les 100 personnes et ayant les issues possibles:
• S:≪ la personne est gauchère ≫
• E:≪la personne n’est pas gauchère ≫.
Par hypothèse P(S) = 0,02 donc p(E) = 1 − P(S) = 1 - 0,02 = 0, 98.
Ces personnes étant indépendantes les unes des autres, la loi de probabilité de X suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,02 (B(100; 0,02)).
Trois personnes au plus sont gauchères, on calcule donc:
P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
P(X ≤ 3) = (1000)0,020×0,98100 + (1001)0,021×0,9899 +
(1002)0,022×0,9898 + (1003)0,023×0,9897
P(X ≤ 3) ≈ 0,859.
Exercice 2:
Une entreprise possède 50 ordinateurs.
La probabilité qu’un ordinateur tombe en panne est de 0,01.
On suppose que le fonctionnement d’un ordinateur est indépendant des autres.
Question 1: Calculer la probabilité qu’aucun ordinateur ne tombe en panne.
Correction:
On note X la variable aléatoire correspondant au nombre d’ordinateurs en panne.
On considère l’épreuve de Bernouilli qui consiste à prendre un ordinateur au hasard parmi les 50 ordinateurs de l’entreprise et ayant les issues possibles:
• S:≪ l’ordinateur est en panne ≫
• E:≪l’ordinateur n’est pas en panne ≫.
Par hypothèse P(S) = 0,01 donc p(E) = 1 − P(S) = 1 - 0,01 = 0, 99.
Ces ordinateurs étant indépendants les uns des autres, la loi de probabilité de X suit la loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,01 (B(50; 0, 01)).
Aucun ordinateur n'est en panne, on calcule donc:
P(X = 0) = (500)p0(1 - p)50-0
P(X = 0) = 0,9950 ≈ 0,605.
Question 2: Calculer la probabilité que 5 ordinateurs soient en panne.
Question 3: Calculer la probabilité de l’événement E :
≪ au moins un ordinateur est en panne ≫.
Correction:
Considérons l'événement E:≪ au moins un ordinateur est en panne≫ et son événement contraire F:≪ Aucun ordinateur n’est en panne ≫.
P(E) = 1 - P(F) = 1 − 0,9950 ≈ 0,395.
Question 4: On note X la variable aléatoire donnant le nombre d’ordinateurs en panne parmi les 50 disponibles.
a) Que signifie p(X = 3) ? Calculer ensuite p(X = 3)
b) Calculer p(X ≤ 3). Interpréter ce résultat.
c) Calculer E(X). Interpréter ce résultat.
Correction:
a) P(X = 3) correspond à la probabilité que 3 ordinateurs exactement sur les 50 sont en panne.
P(X = 3) = (503)p3(1 - p)50-3
P(X = 3) = (503)0,013×0,9947 ≈ 0,0122.
b) P(X ≤ 3) signifie que au plus trois ordinateurs peuvent être en panne, c'est à dire que trois ordinateurs maximum peuvent être défectueux.
P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) ≈ 0,7. Conclusion: La probabilité que 3 ordinateurs au maximum soient en panne est de 0,7 environ.
c) E(X) = n×p = 50×0,01 = 5/10 = 0,5.
Cela signifie qu'en moyenne il y aura 0,5 ordinateur en panne dans cette entreprise.
Exercice 3:
Dans le métro, il y a 9% des voyageurs qui fraudent.
Chaque jour, à la station République, on contrôle 200 personnes.
Soit X la variable aléatoire qui représente le nombre de fraudeurs sur ces 200 personnes.
On admet que X suit une loi binomiale.
Question 1: Déterminer les paramètres de la loi que suit X.
Correction:
On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de fraudeurs.
On admet que X suit une loi binomiale de paramètres n = 200 et p = 9/100 = 0,09.
Question 2: Combien de personnes, en moyenne, vont être signalées en fraude lors de ce contrôle ?
Correction:
E(X) = n×p = 200×0,09 =18.
En moyenne, on signalera 18 fraudeurs par jour.
Question 3: Si le prix du ticket est de 1,70 euros, quel doit être le prix de l’amende pour, qu’en moyenne, l’établissement régissant le métro ne perde pas
d’argent avec les fraudeurs de la station République, sachant qu’il y a
5 000 voyageurs qui transitent chaque jour dans cette station.
Correction:
• 5000×0,09 = 450: ce qui signifie qu'en moyenne par jour, il y a 450 fraudeurs dans cette station.
• 450×1,7 = 765: ce qui signifie que la compagnie perd 765 euros par jour.
Conclusion: Le montant de l'amende doit être de:
765/18 = 42,5 (18 = nombre moyen de fraudeurs par jour).
Pour ne pas perdre d'argent, le montant de l'amende doit être de 42,5 euros.
Exercice 4:
Dans une loterie, à chaque jeu, on a 5% de chance de gagner.
On décide de jouer n fois (n entier, n ≥ 1).
Chaque jeu est indépendant des autres.
Soit X la variable aléatoire déterminant le nombre de fois où l’on gagne à cette loterie lors des n jeux.
Question 1: Quelle est la loi que suit X ? Préciser ses paramètres.
Correction:
On répète n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètres p = 0,05 (car le ”succès” correspond à "joueur gagne la partie"). La variable X qui
compte le nombre de jeux gagnés suit la loi binomiale B(n; 0,05).
Question 3: En déduire le nombre de parties qu’il faut jouer au minimum pour avoir plus de 50% de chance de gagner au moins une fois.
Correction:
On cherche le plus petit entier n tel que P(X ≥ 1) > 1/2.
Donc 1 − 0,95n > 1/2 ⇔ -0,95n > -1/2 ⇔ 0,95n < 1/2.
A la calculatrice, on trouve:
• n = 5, 0,955 ≈ 0,774 > 0,5;
• n = 10, 0,9510 ≈ 0,599 > 0,5;
• n = 15, 0,9515 ≈ 0,463 < 0,5;
• n = 13, 0,9513 ≈ 0,513 > 0,5;
• n = 14, 0,9514 ≈ 0,488 < 0,5.
Il faut jouer au moins 14 parties pour avoir plus d’une chance sur deux de gagner au moins une fois.
Exercice 5:
Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
On lance une pièce équilibrée n fois de suite.
On note pn la probabilité d'obtenir au moins deux fois pile sur les n lancers.
Question 1: Montrer que pour tout n ≥ 2, pn = 1 - (n + 1)×0,5n.
Correction:
On répète n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètres p = 1/2 (car le ”succès” correspond à "obtenir pile").
La variable X qui compte le nombre de piles sur les n lancers suit la loi binomiale B(n; 0,5).
pn = P(X ≥ 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 - [0,5n + n×0,5n]
pn = 1 - 0,5n - n×0,5n = 1 - (n + 1)×0,5n.
Question 2: Déterminer le nombre minimum de lancers à effectuer pour que la probabilité "d'obtenir au moins deux fois pile" soit supérieure ou égale à
0,999.
Justifier.
Correction:
On cherche le plus petit entier n tel que P(X ≥ 2) ≥ 0,999.
Donc 1 − (n + 1)×0,5n ≥ 0,999 ⇔ -(n + 1)×0,5n ≥ -0,001
⇔ (n + 1)×0,5n ≤ 0,001.
A la calculatrice, on trouve:
• n = 5, 6×0,55 = 3/16 ≥ 0,001;
• n = 10, 11×0,510 = 11/1024 ≥ 0,001;
• n = 13, 14×0,513 = 7/4096 ≥ 0,001;
• n = 14, 15×0,514 ≈ 0,00092 < 0,001.
Il faut lancer la pièce au moins 14 parties pour que la probabilité "obtenir au moins deux fois pile" soit supérieure ou égale à 0,999.
Savoir par coeur n'est pas savoir, savoir utiliser ses connaissances est la clé de la réussite:une tête bien faite vaut mieux
qu'une tête pleine!
