Nombres relatifs:

Méthodes:

1) Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne leur distance à zéro et on garde le signe commun.

2) Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, on soustrait leur distance à zéro et on prend le signe de celui qui a la plus grande distance à à zéro.

3) Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.

Exemples:

1) A = (-3)+(-6): on additionne deux nombres négatifs;

A=-(3+6): on additionne les distances à zéro et on garde le signe;

A = -9.

2) B = (-4)+(+10): on additionne deux nombres de signes contraires;

B = +(10 - 4): on soustrait les distances à zéro et on note le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro;

B = +6.

3) C = (-3) - (-4): on soustrait le nombre (-4);

C = (-3) + (+4): on ajoute son opposé;

C = +(4 - 3): on soustrait leur distance à zéro et on écrit le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro;

C = +1.

Propriétés:

1) La somme de deux nombres relatifs opposés est nulle;

2) Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé.

Exemples:

1) -2,5+(+2,5)=0; 14,3+(-14,3)=0

2) A=26-(-5,2)

A=26+5,2; on ajoute l'opposé de (-5,2) qui est: 5,2;

A=31,2.

Définition:

Une suite d'additions et de soustractions de nombres relatifs peut s'écrire avec uniquement des additions: c'est une somme algébrique.

Exemple:

A=-65+4-(-15)-20+(-10);

A=(-65)+4+15+(-20)+(-10); on écrit A avec des additions;

A=(-65)+(-20)+(-10)+4+15=-95+19: dans une somme, on peut modifier l'ordre des termes; ce qui veut dire qu'on additionne les nombres positifs entre eux et les nombres négatifs entre eux;

A=-(95-19);on soustrait leur distance à zéro et on écrit le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro;

A=-76.

Méthodes:

Règles des signes:

1) Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif;

2) Le produit de deux nombres relatifs de signe contraire est négatif.

Exemples:

1) (-5)×(-3)=15;

2) 4×(-3)=-12.

Généralisons ce résultat:

Un produit de facteurs est:

1) positif si le nombre de facteurs négatifs est pair;

2) négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair.

Exemples:

1) (-5)×(-3)×4×(-2)×6×(-7)=5040; quatre facteurs négatifs, le produit est donc positif;

2) 5×(-3)×4×(-2)×6×(-7)=-5040; trois facteurs négatifs, le produit est donc négatif;

Définition:

a et b deux nombres relatifs avec b≠0.

Le quotient de a par b est noté a:b ou ^a/_b.

Règles des signes:

1) Le quotient de deux nombres relatifs de même signe est positif;

2) Le quotient de deux nombres relatifs de signe contraire est négatif.

Exemples:

1) ^(-32)/_(-8)=4;

2) ³⁶/_(-4)=-9.

Calcul littéral:

Une expression littérale est une expression contenant une ou plusieurs inconnues (on écrit ces inconnues avec des lettres).

Définitions:

1) Développer un produit, c'est le transformer en une somme algébrique.

2) Factoriser une somme algébrique, c'est la transformer en un produit.

Règles:

Soient a, b, c, d et k quatre nombres, alors:

1) k×(a+b)=k×a+k×b.

2) k×(a-b)=k×a-k×b.

3) (a+b)(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d: double distributivité

4) (a-b)(c-d)=a×c-a×d-b×c+b×d.

Dans l'exemple 4), on utilise la règle des signes.

Attention:Après avoir développé une expression, on la réduit.

Exemples:

1) Développer: A=8×(2-x)=8×2+8×(-x)

A=16+(-8x);

A=16-8x.

2) Factoriser: B=-3x+8x²;

B=-3×x+8x×x;

B=x×(-3+8x).

3) C=(3+x)(2-2x);

C=3×2+3×(-2x)+x×2+x×(-2x).

C=6+(-6x)+2x+(-2x²);

C=-2x²-(6-2)x+6;

C=-2x²-4x+6.

Définition:

Réduire une expression littérale c'est l'écrire plus simplement: on regroupe les termes en x² ensemble, les termes en x ensemble et les contantes ensemble.

Exemple:

A=8x²-4x+5-3x²+6x-10;

A=8x²-3x²-4x+6x+5-10;

A=(8-3)x²+(6-4)x-(10-5);

A=5x²+2x-5.

Les fractions:

Fractions égales:

Deux quotients sont égaux quand on passe de l'un à l'autre en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul

⊛ Pour k≠0, ^(a×k)/_(b×k)=^a/_b

⊛ Pour k≠0, ^(a:k)/_(b:k)=^a/_b

L'action de passer de la fraction de gauche à celle de droite est la simplification

Exemple:

Simplifie:

¹⁸/₈=^(9×2)/_(4×2)=⁹/₄

Produits en croix:

a, b, c et d quatre nombres relatifs avec b≠0 et d≠0.

⊛ ^a/_b=^c/_d alors a×d=c×b;

⊛ a×d=c×b alors ^a/_b=^c/_d.

Exemples:

1) Les quotients ³⁵/_x et ¹⁵/₃ sont égaux: l'objectif est de trouver x

Les quotients étant égaux, on a: 3×35=15×x

105=15×x

x=¹⁰⁵/₁₅=^(3×5×7)/_(3×5): on simplifie le quotient

x=7.

Conclusion: x=7 et ³⁵/₇=¹⁵/₃.

2) Les quotients ²¹/₈ et ¹⁵/₆ sont-ils égaux?

21×6=126;

15×8=120;

Conclusion: ²¹/₈≠¹⁵/₆

Méthode 1:

a) Additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur , cela revient à additionner (ou à soustraire) les numérateurs en conservant le dénominateur commun.

Pour c≠0, ^a/_c+^b/_c=^(a+b)/_c

b) Additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire de dénominateurs différents , cela revient à écrire les deux nombres avec le même dénominateur et on applique le cas a).

Pour b≠0 et d≠0, ^a/_b+^c/_d=^(a×d)/_(b×d)+^(c×b)/_(d×b)=^(ad+cb)/_bd

Exemples:

1) A=⁶/₇-¹⁵/₇;

A=^(6-15)/₇;

A=^-9/₇.

2) B=³/₂-⁴/₃;

B=^(3×3)/_(2×3)-^(4×2)/_(3×2);

B=⁹/₆-⁸/₆;

B=^(9-8)/₆;

B=¹/₆.

Méthode 2:

Multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, cela revient à multiplier les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble.

Pour b≠0 et d≠0, ^a/_b×^c/_d=^(a×c)/_(b×d)

Exemple:

C=³/_(-4)×^(-8)/₁₅;

C=^(3×8)/_(4×15): le produit de deux nombres négatifs est positif;

C=^(2×3×4)/_(4×3×5): on divise par 3×4 le numérateur et le dénominateur

C=²/₅.

Définition:

L'inverse d'un nombre relatif a, a≠0, est le nombre: ¹/_a.

a et b deux nombres relatifs, a≠0 et b≠0, l'inverse de ^a/_b est: ^b/_a.

Méthode 3:

Diviser deux nombres en écriture fractionnaire, cela revient à multiplier la fraction au numérateur par l'inverse de la fraction au dénominateur.

Pour b≠0, c≠0 et d≠0, (^a/_b)÷(^c/_d)=(^a/_b)×(^d/_c)

Puis on applique méthode 2.

Exemple:

D=³/₄÷²/₈;

D=³/₄×⁸/₂: l'inverse de ²/₈ est ⁸/₂;

D=^(3×8)/_(4×2): on applique la méthode 2;

D=^(3×2×4)/_(4×2): on simplifie par 2×4;

D=3.

Les puissances:

a (a≠0) désigne un nombre relatif et n un entier naturel, on suppose n≥2.

Dans une expression numérique, on effectue d'abord les puissances, puis les multiplications et divisions et enfin les additions et soustractions.

Exemple:

A=6+3×4²;

A=6+3×16;

A=6+48=54.

* Les puissances de 10:

* Règles:

* Ecriture scientifique:

Définition:

mots à utiliser : puissance, produit et compris.

Equation du 1er degré à une inconnue:

Une équation est une égalité dans laquelle on trouve un nombre inconnu, repésenté par une lettre.

mots à utiliser : solutions, valeurs et Résoudre.

* Règles:

Ordre:

Méthode 1:

mots à utiliser : inférieur, grande et petite.

Exemple:

Comparons -8,7 et -10,5:

8,7 < 10,5: on détermine les distances à zéro et on les compare;

-10,5 < -8,7: on les range dans l'ordre inverse de leur distance à zéro.

Définition:

a et b deux nombres relatifs tels que: a<b.

1) Si x est compris entre a et b, on écrit l'encadrement (Attention: si a et b sont inclus ou non):

* a≤ x≤ b (a et b inclus);

* a< x< b (a et b exclus);

* a< x≤ b (a exclu et b inclus);

* a≤ x< b (a inclus et b exclu).

2) L'amplitude d'un tel encadrement est le nombre positif: b-a:

L'amplitude b-a est la distance entre a et b.

* Règles: Comparer deux nombres en cherchant le signe de leur différence

Propriétés:

Pour résoudre une inéquation:

1) Si on ajoute (ou on soustrait) un même nombre relatif aux deux membres d'une inégalité, alors l'inégalité ne change pas de sens:

* Si a<b alors a+c <b+c

* Si a≥b alors a-c ≥b-c.

2) Si on multiplie ou si on divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre strictement positif, alors l'inégalité ne change pas de sens.

* Si a<b et si c>0 alors a×c <b×c.

3) Si on multiplie ou si on divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre strictement négatif, alors l'inégalité change de sens.

* Si a<b et si c<0 alors a×c >b×c.

Exemples:

1) Si x+6<9;

alors x+6-6<9-6;

donc x<3.

2) Si -3x-3≥12;

alors -3x-3+3≥12+3

d'où -3x≥15;

donc -3x(×¹/_(-3))≤15(×¹/_(-3)); on divise par -3<0, on change le sens de l'inégalité

d'où x≤-5.

Proportionnalité:

Méthode :

Si les valeurs d’une grandeur s’obtiennent en multipliant les valeurs d’une autre par un même nombre non nul, alors on dit que ces deux grandeurs sont proportionnelles.

Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, on dit que l’on a une situation de proportionnalité.

Pour reconnaître si un tableau de nombres est un tableau de proportionnaité, il faut vérifier que tous les quotients colonne par colonne sont égaux (si on regarde le tableau de l'exemple 1, on constate que ⁴/₈=⁶/₁₂=⁸/₁₆=¹/₂, comme tous les quotients sont égaux, c'est donc un tableau de proportionnalité).

Exemples:

1) Le nombre de litres de jus de fruit et le prix en euros correspondant sont proportionnels:

k =2 est le coefficient de proportionnalité (on multiplie par 2 pour obtenir le prix).

2) Dans un collège, on constate que quatre élèves sur 7 viennent en vélo :

trouvons le pourcentage des élèves du collège possédant un vélo.

k =⁴/₇ est le coefficient de proportionnalité.

Donc t = 100 × ⁴/₇ = ⁴⁰⁰/₇ (≈57,14).

Il y a donc 57,14% des élèves possédant un vélo dans ce collège.

Produit en croix:

On prend quatre nombres a, b, c et d, quatre nombres non nuls:

Si ^a/_b=^c/_d alors a×d=c×c.

Exemple:

D'après l'égalité des produits en croix, on a: 6×x=4×8;

d'où x=^(4×8)/₆=^(4×2×4)/_(2×3); on simplifie par 2

c'est à dire x=¹⁶/₃.

Echelle et Vitesse moyenne:

a) Echelle:

Définition:

L'échelle d'une carte est le rapport de la distance mesurée sur la carte et la distance réelle.

Les distances sont exprimées avec la même unité.

Exemple:

Une carte est à l'échelle ¹/_505OOO, cela veut dire que 1 cm sur la carte représente 505000 cm en réalité (soit 5,05 km)

tableau de proportionnalité: Distance sur carte (en cm) 1 6 ↓(× 5,05) Distance réelle (en km) 5,05 30,30 Donc 6 cm sur la carte représente 30,30 km en réalité.

b) Vitesse moyenne:

Définition:

Sur un trajet, la distance parcourue d est proportionnelle à la durée t du trajet.

Le coefficient de proportionnalité v est appelée vitesse moyenne d'où la formule:

Attention aux unités: si d s'exprime en km et t en heures, alors la vitesse moyenne s'exprime en km.h^-1 ou si d s'exprime en m et t en secondes, alors la vitesse moyenne s'exprime en m.s^-1.

Exemple:

En parcourant 260 kms en deux heures, la vitesse moyenne est:

v=^d/_t=²⁶⁰/₂=130 km.h^-1.

Statistiques:

Définition:

mots à utiliser : effectifs, quantitatif, données, et classes.

Exemple:

Lors d'un contrôle de mathématiques, voici les notes des 20 élèves: les notes s'échelonnent entre 5 et 16:

5, 14, 15, 5, 16, 8, 15, 10, 16, 8, 11, 12, 8, 14, 15, 10, 11, 15, 12, 11.

Définition:

La fréquence d'une valeur est le quotient:

On peut l'exprimer sous forme exacte ou approchée ou fractionnaire.

Dans le cas de pourcentage, on parle de fréquence en pourcentage (=fréquence ×100).

Exemple:

On reprend le tableau ci-dessus et on le complète:

La somme totale des fréquences est égale à 1.

La somme totale des fréquences en pourcentage est égale à 100%.

Quelle est la fréquence de la note 15: ⁴/₂₀ = ¹/₅ = 0,2.

Or 0,2 = ²⁰/₁₀₀; donc 20% des élèves ont obtenu la note de 14.

Méthode:

Diagramme circulaire, diagramme en barres:

a) Diagramme circulaire:

L'angle de chaque secteur angulaire d'un diagramme circulaire (ou semi-circulaire) est proportionnel à l'effectif correspondant.

L'effectif total correspondant à 360° (180° pour un diagramme semi-circulaire):

on obtient l'angle en degré en multipliant la fréquence par 360° (ou 180°).

Exemple:

Répartition de la population lorraine en 2014:

La population totale en Lorraine est : 2 346 292.

Diagramme: Pour trouver l'angle: prenons l'exemple des Vosges: la fréquence est égale à 0,16 (= 374357/2346292); donc l'angle vaudra: 0,16 × 360 = 57,6°. On construit le diagramme à l'aide d'un rapporteur.

b) Diagramme en barres:

Les hauteurs des "barres" sont proportionnelles aux effectifs (ou fréquences) des catégories.

Exemple:

on reprend l'exemple ci-dessus:

Définitions:

a) Moyenne:

mots à utiliser : effectif, moyenne et somme.

Exemple:

Dans une usine, les employés ont les salaires, en euros, suivants:

1065, 1090, 1250, 1340 et 1296.

Le salaire moyen des employés est: m=⁶⁰⁴¹/₅=1208,20 .

Le salaire moyen est 1208,20 euros.

b) Moyenne pondérée:

mots à utiliser : multiplie, pondérée et divise.

Exemple:

Dans une classe de 15 élèves, on classe les notes dans le tableau ci-dessous:

On veut calculer la moyenne de la classe à ce devoir:

m=^{(10×2+11×3+12×2+14×2+15×4+16×2)}/₁₅

m=¹⁹⁷/₁₅=13,13

La moyenne à ce devoir est 13,13.

Théorème de Pythagore:

Définition:

Exemples:

1) Le triangle ABC est rectangle en C, on sait que:

AC=4cm et CB=3cm.

D'après l'égalité de Pythagore:

AB²=AC²+BC²

AB²=4²+3²

AB²=16+9=25

Donc AB=5, AB mesure 5cm.

2) ABC est un triangle tel que: BC=13cm; AB=11cm et AC=7cm.

[BC] est le côté le plus long, BC²=13²=169.

AC²+BA²=7²+11²=49+121=170.

L'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, BC²≠AC²+BA².

Le triangle ABC n'est pas rectangle.

Droite des milieux:

Propriétés:

1) Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.

Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

Dans un triangle, si un segment joint les milieux de deux côtés, alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.

Exemple:

Voici une reproduction d'un plan d'un quartier de Paris.

Les rues de la Pyramide et de l'Echelle sont parallèles car:

Dans le triangle ABC, I et J sont les milieux respectifs de [BC] et [AC]; la droite (IJ) passe par les milieux de deux côtés; donc (IJ)//(AB).

Les rues sont parallèles.

On sait que AB=170 mètres: I et J sont les milieux respectifs de [BC] et [AC].

Dans le triangle ABC, le segment [IJ] joint les milieux de deux côtés, alors sa longueur est égale à :

IJ=^BA/₂=¹⁷⁰/₂=85

La longueur de la rue de l'Echelle entre I et J mesure 85 mètres.

Triangle rectangle et cercle circonscrit:

Définition:

Si les trois sommets d'un triangle sont sur un même cercle, alors on dit que le triangle est inscrit dans ce cercle. On peut aussi dire que le cercle est circonscrit à ce triangle.

Propriétés:

1) Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit à ce triangle.

2) Si AM̂B est un angle droit, alors M appartient au cercle de diamètre [AB].

3) Si un triangle est rectangle, alors la médiane relative à l'hypoténuse mesure la moitié de l'hypoténuse.

Propriétés:Reconnaître un triangle rectangle

1) Si le cercle circonscrit à un triangle a pour diamètre un des côtés du triangle, alors ce triangle est rectangle.

2) A, B et M sont trois points distincts. Si le point M est sur le cercle de diamètre [AB], alors l'angle AM̂B est un angle droit.

3) Dans un triangle, si le milieu d'un côté est équidistant des trois sommets du triangle, alors ce triangle est rectangle.

(Ou: Dans un triangle, si la médiane relative au plus grand côté mesure la moitié de ce plus grand côté, alors le triangle est rectangle).

Triangle et droites parallèles:

Définition: Proportionnalité des longueurs

Lorsqu'on multiplie toutes les longueurs d'un objet par un même nombre positif k, alors on obtient:

* Un agrandissement de l'objet si k>1.

* Une réduction de l'objet si k<1.

k s'appelle le coefficient d'agrandissement (ou de réduction).

Conséquences:

1) Dans un agrandissement ou une réduction, les angles sont conservés.

2) Dans un agrandissement ou une réduction, le parallélisme et la perpendicularité sont conservées.

3) Dans un agrandissement ou une réduction, les dimensions de la figure obtenue sont proportionnelles à celle de la figure initiale.

Définition: Propriété de Thalès

mots à utiliser : triangles, longueurs et proportionnelles.

Dans les triangles AMN et ABC, si M∈[AB], N∈[AC] et (MN)//(BC)

alors les des côtés correspondants des AMN et ABC sont .

Autrement dit :

^AM/_AB=^AN/_AC=^MN/_BC.

Vérifie tes réponses: longueurs triangles proportionnelles

Exemple:

On souhaite construire une réduction du triangle ABC de rapport ¹/₄.

On place le point M tel que: AM=¹/₄AB.

On trace la parallèle à (BC) passant par M et on note N, le point d'intersection avec [AC].

Le triangle AMN est une réduction de rapport ¹/₄ du triangle ABC.

D'après la propriété de Thalès:

Triangle et Cosinus:

Définitions:

1) Côté adjacent: Si un triangle est rectangle en C, alors: [BC] est le côté adjacent à l'angle CB̂A. 2) Cosinus: Le cosinus d'un angle aigu est le quotient: (longueur du côté adjacent à cet angle)/(longueur de l'hypothénuse) Cos CB̂A = BC/AB. Utilité: 1)la connaissance de la mesure de l'angle aigu et la longueur d'un côté de cet angle permet de calculer la longueur du second côté. 2)la connaissance des longueurs des côtés de cet angle permet de calculer la mesure de cet angle.

Exemples:

1) Le triangle ABC est rectangle en C.(cf figure ci-dessus)

Ce triangle est tel que: AC=4,1cm et BÂC =35°.

Cos BÂC = ^AC/_AB soit Cos 35° = ^4,1/_AB.

Donc AB = 4,1×Cos 35°; à la calculatrice on trouve: AB ≈ 3,4cm.

2) Le triangle ABC est rectangle en C tel que AC = 4,7cm et AB = 6cm.

Cos BÂC = ^AC/_AB = ^4,7/₆.

Cos BÂC ≈0,78; à la calculatrice, on trouve: BÂC ≈ 38°.

Distance, droite et cercle:

Définition: Distance d'un point à une droite:

Soit (D) une droite et A un point . La perpendiculaire à la droite (D) passant par A coupe la droite (D) en H. Le plus court chemin pour aller du point A à la droite (D) est le segment [AH]. La longueur AH s'appelle la distance du point A à la droite (D).

Définition: tangente à un cercle:

Soit C le cercle de centre O et de rayon r.

On appelle h la distance du point O à la droite d.

On distingue trois cas:(figure 1)

Cas 1: h<r La droite d coupe le cercle en deux points, A et B. Cas 2: h=r La droite d et le cercle C ont un unique point commun H. La droite d est la tangente au cercle C en H. Cas 3: h>r La droite d ne coupe pas le cercle C.

A retenir:

Soit C un cercle de centre O et H un point du cercle C.

La tangente au cercle C en H est la droite d perpendiculaire en H à la droite (OH).

Définition: bissectrice:

La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.

Propriétés:

1) Si un point M appartient à la bissectrice (D) d'un angle, alors ce point est à égale distance des deux côtés de l'angle: MA = MB. 2)Réciproquement: Si un point M est à égale distance des deux côtés d'un angle, alors ce point appartient à la bissectrice (D) de cet angle.

Définition: triangle et cercle inscrit:

Les bissectrices des angles d'un triangle se coupent en un même point ; ce point d'intersection est à égale distance des trois côtés du triangle;

C'est le centre du cercle inscrit dans le triangle.