Les incontournables

Numérique: Priorités et distributivité:

Méthode 1:

mots à utiliser : les additions et les soustractions, les multiplications et les divisions et parenthèses.

Méthode 2:

Dans une expression fractionnaire, on effectue d'abord les calculs au numérateur et au dénominateur, puis on simplifie la fraction.

Méthode 3:

mots à utiliser : factoriser, facteur, facteur commun, et développer.

Exemples:

1) 5+2×(23+7)-6 : on effectue les calculs entre parenthèses;

5+2×30-6 = 5+60-6 : on effectue la multiplication;

65-6 = 59 : on effectue les additions et les soustractions de gauche à droite.

2) B = ⁽¹⁴⁺⁶⁾/_(15-5)

B=²⁰/₁₀ : on effectue les calculs au numérateur et au dénominateur;

B=2 : on simplifie la fraction.

3) a) Développe: A=3×(3-2)

A=3×3-3×2 : on distribue le facteur 3 aux termes 3 et 2;

A=9-6=3.

3) b) Factorise: B=30×4+30×2

B=30×4+30×2 : on repère le facteur commun;

B=30×(4+2) :on met en facteur le nombre 30;

B=30×6=180.

Fractions:

Méthode 1:

Pour comparer des fractions, on les écrit avec le même dénominateur puis on les range dans le même ordre que leur numérateur.

Méthode 2:

Pour additionner ou soustraire des fractions, on doit:

1) les mettre sous le même dénominateur;

2) on additionne ou on soustrait les numérateurs mais on garde le même dénominateur.

Méthode 3:

Pour multiplier des fractions, on doit:

multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Exemples:

1) Comparer: ³/₄ et ⁶/₅

³/₄=^(3×5)/_(4×5)=¹⁵/₂₀ et ⁶/₅=^(6×4)/_(5×4)=²⁴/₂₀ :on les met sous le même dénominateur.

on constate que: ¹⁵/₂₀ < ²⁴/₂₀ : on range les fractions dans le même ordre que leur numérateur.

finalement, ³/₄ < ⁶/₅

2) Calculer l'expression suivante: C=⁶/₅-³/₄

C=⁶/₅-³/₄=²⁴/₂₀-¹⁵/₂₀ : on écrit les fractions avec le même dénominateur

C=⁹/₂₀ :on soustrait les numérateurs.

3) Calculer l'expression suivante:D=²/₁₅ײ⁵/₈

D=^(2×25)/_(15×8)=^(2×5×5)/_(3×5×2×4) : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux

D=⁵/_(3×4) : on simplifie la fraction par 2 et par 5

Finalement, D=⁵/₁₂.

Nombres relatifs: Règles et Méthodes.

Méthode 1:

Tout point d'une règle graduée est repéré par son abscisse.

Règle:

La distance à zéro d'un nombre relatif est son abscisse sans le signe.

B a pour abscisse 3: sa distance à l'origine est 3;

D a pour abscisse -2: sa distance à l'origine est 2.

Méthode 2:

mots à utiliser : inférieur, ordre et ordre inverse.

Exemple:

Comparons -8,7 et -10,5:

8,7 < 10,5: on détermine les distances à zéro et on les compare;

-10,5 < -8,7: on les range dans l'ordre inverse de leur distance à zéro.

Méthode 3:

1) Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne leur distance à zéro et on garde le signe commun.

2) Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, on soustrait leur distance à zéro et on prend le signe de celui qui a la plus grande distance à à zéro.

3) Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.

Exemples:

1) A = (-3)+(-6): on additionne deux nombres négatifs;

A=-(3+6): on additionne les distances à zéro et on garde le signe;

A = -9.

2) B = (-4)+(+10): on additionne deux nombres de signes contraires;

B = +(10 - 4): on soustrait les distances à zéro et on note le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro;

B = +6.

3) C = (-3) - (-4): on soustrait le nombre (-4);

C = (-3) + (+4): on ajoute son opposé;

C = +(4 - 3): on soustrait leur distance à zéro et on écrit le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro;

C = +1.

Méthode 4:

Pour calculer la distance entre deux points sur une règle graduée, on effectue la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite.

Exemples:

On reprend l'exemple:(méthode 1)

B a pour abscisse 3 et D a pour abscisse -2:

or -2 < +3: on compare les distances à zéro;

BD = (+3) - (-2): on effectue la différence entre la plus gande abscisse et la plus petite;

BD = +(3 + 2): on ajoute deux nombres de même signe;

BD = 5.

Proportionnalité:

Méthode :

Si les valeurs d’une grandeur s’obtiennent en multipliant les valeurs d’une autre par un même nombre non nul, alors on dit que ces deux grandeurs sont proportionnelles.

Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, on dit que l’on a une situation de proportionnalité.

Exemples:

1) Le nombre de litres de jus de fruit et le prix en euros correspondant sont proportionnels:

k =2 est le coefficient de proportionnalité (on multiplie par 2 pour obtenir le prix).

2) Dans un collège, on constate que quatre élèves sur 7 viennent en vélo :

trouvons le pourcentage des élèves du collège possédant un vélo.

k =⁴/₇ est le coefficient de proportionnalité.

Donc t = 100 × ⁴/₇ = ⁴⁰⁰/₇ (≈57,14).

Il y a donc 57,14% des élèves possédant un vélo dans ce collège.

Statistiques:

Définition:

mots à utiliser : effectifs, quantitatif, données, et classes.

Exemple:

Lors d'un contrôle de mathématiques, voici les notes des 20 élèves: les notes s'échelonnent entre 5 et 16:

5, 14, 15, 5, 16, 8, 15, 10, 16, 8, 11, 12, 8, 14, 15, 10, 11, 15, 12, 11.

Définition:

La fréquence d'une valeur est le quotient:

On peut l'exprimer sous forme exacte ou approchée ou fractionnaire.

Dans le cas de pourcentage, on parle de fréquence en pourcentage.

Exemple:

On reprend le tableau ci-dessus:

Quelle est la fréquence de la note 15: ⁴/₂₀ = ¹/₅ = 0,2.

Or 0,2 = ²⁰/₁₀₀; donc 20% des élèves ont obtenu la note de 14.

Méthode:

Diagramme circulaire:

L'angle de chaque secteur angulaire d'un diagramme circulaire (ou semi-circulaire) est proportionnel à l'effectif correspondant.

L'effectif total correspondant à 360° (180° pour un diagramme semi-circulaire):

on obtient l'angle en degré en multipliant la fréquence par 360° (ou 180°).

Exemple:

Répartition de la population lorraine en 2014:

La population totale en Lorraine est : 2 346 292.

Diagramme: Pour trouver l'angle: prenons l'exemple des Vosges: la fréquence est égale à 0,16 (= 374357/2346292); donc l'angle vaudra: 0,16 × 360 = 57,6°. On construit le diagramme à l'aide d'un rapporteur.

Symétrie centrale:

Définition:

mots à utiliser : centre, milieu et symétrique.

Méthodes construction:

1) Pour construire le symétrique d'une droite par rapport à un point, on choisit deux points de la droite et on construit leurs symétriques; on trace alors la droite passant par ces deux points.

2) pour construire le symétrique d'un cercle de centre A et de rayon R, on construit d'abord A' symétrique de A; on trace ensuite le cercle de centre A' et et de rayon R (le rayon est inchangé).

Propriétés:

1) Les images de trois points alignés sont trois points alignés.

2) L'image d'une droite est une droite parallèle.

3) L'image d'un segment est un segment de même longueur.

4) L'image d'un cercle est une cercle de même rayon.

5) L'image d'un angle est un angle de même mesure.

6) Les images de deux droites perpendiculaires sont perpendiculaires.

Triangles:

Définition:

mots à utiliser : somme, égale, inférieure et longueurs.

Pour construire un triangle, on vérifie que la plus grande longueur est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Exemple:

Peut-on construire le triangle MUR: MR = 5cm; UR= 6cm et MU = 4cm?

[UR] est le plus grand côté: on calcule MR + MU = 5 + 4 = 9cm.

On constate que UR < MR + MU: le triangle est constructible.

Définitions:

1) Médiatrices:

Le point de concours des trois médiatrices d'un triangle est le centre du cercle circonscrit au triangle. Ce cercle passe par les trois sommets du triangle.

2) Médianes:

Dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet. Dans un triangle, il y a trois médianes.

3) Hauteurs:

Dans un triangle, une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. Dans un triangle, il y a trois hauteurs (Attention: elles peuvent être "à l'extérieur" du triangle).

Parallélogrammes:

Définition:

1) Côtés:

Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux.

Cas particuliers:

1) Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange.

2) Si un parallélogramme a deux côtés perpendiculaires alors c'est un rectangle.

2) Diagonales:

Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Cas particuliers:

1) Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c'est un rectangle.

2) Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un losange.

3) Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur et perpendiculaires alors c'est un carré.

Angles:

Définition:

Deux angles adjacents sont deux angles ayant un sommet commun, un côté commun et qui sont situés de part et d'autre de ce côté commun. Les angles BÂC et CÂD sont adjacents.

Deux angles opposés par le sommet sont deux angles ayant un sommet commun et qui ont leurs côtés dans le prolongement l'un de l'autre: ils ont même mesure. Les angles tÔz et yÔx sont opposés par le sommet (les points t, O et y sont alignés ainsi que les points z, O et x).

Caractérisation de deux angles:

1) Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 90°.

2) Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme est égale à 180°.

3) Deux angles alternes-internes: les angles bleus sont définis par deux droites D1 et D2 et une droite D3 sécante aux deux autres. Si deux angles alternes-internes sont déterminés par des droites parallèles alors ils ont la même mesure. Réciproquement: Si deux angles alternes-internes sont égaux alors les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.

4) Deux angles correspondants: les angles rouges sont définis par deux droites D1 et D2 et une droite D3 sécante aux deux autres. Si deux angles correspondants sont déterminés par des droites parallèles alors ils ont la même mesure. Réciproquement: Si deux angles correspondants sont égaux alors les deux droites coupées par la sécante sont parallèles.